《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

第四节隐函数和参数方程求导相关变化率隐函数的导数对数求导法三、由参数方程确定得函数的导数四、相关变化率

第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率 一、隐函数的导数 三、由参数方程确定得函数的导数 二、对数求导法 四、相关变化率

第二章导数与积分一、隐函数的导数由方程F(x,y)=0确定的函数y=y(x)称为隐函数定义由y=f（x）表示的函数称为显函数例如：方程x+y3-1=0可确定显函数y=/1-x方程xy一ex+e=0理论上可确定y是x的函数y=y(x)但此隐函数不能显化问题隐函数不易显化或不能显化如何求导？第四节隐函数和参数方程求导相关变化率

第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率 第二章 导数与积分 一、隐函数的导数 定义 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导？ 例如: 但此隐函数不能显化. 可确定显函数

第二章导数与积分隐函数求导法则：用复合函数求导法则直接对方程两边求导.即F(x,y) = 0注意y=y(x)两边对x求导dF(x,y)=0（含有导数y的方程)dxdy例1求由方程xy-e+ey=0所确定的隐函数的导数dxdydy解方程两边对x求导，得y+x 0,+dxdxdy-y解得x+eydx第四节隐函数和参数方程求导相关变化率

第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率 第二章 导数与积分 隐函数求导法则： 例1 解 解得 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.即

第二章导数与积分例2求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数在x=0处的dy导数dxx=0解方程两边对x求导，得1+21x6dydydy1-216=05y4.+ 25y4+ 2'dxdxdx1dy因当x=0时,y=0,故2:dxx=0第四节隐函数和参数方程求导相关变化率

第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率 第二章 导数与积分 例2 解 5y 4 + 2 − 1 − 21ᵯ6= 0 得

第二章导数与积分t23V31在点处的切线方程例3求椭圆+29162解椭圆方程两边对x求导，得1dy2x= 0.2y+9dx169xV3dydy:.:x=2dx16ydx432V3y=故切线方程为V333( 2)即V3x+4y-8V3=0V42第四节隐函数和参数方程求导相关变化率

第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率 第二章 导数与积分 例3 解 得 =0. 故切线方程为 (ᵯ− 2)

第二章导数与积分例4求由方程x-y+=siny=0所确定的隐函数的二阶导数y"2方程两边对x求导,得1-,cosy·y'=0.解22:y:2 - cosy上式两端再对x求导，得2-2siny:2-cosy-4siny-2sin yy'.y"(2 - cos y)3(2 - cos y)2(2 - cos y)2第四节隐函数和参数方程求导相关变化率

第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率 第二章 导数与积分 例4 解 得 1 − ᵯ′ =￾0. 得

第二章导数与积分二、 对数求导法y=xsinx观察函数方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数对数求导法适用范围：多个函数相乘和幂指函数u(x)(x)的情形第四节隐函数和参数方程求导相关变化率

第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率 第二章 导数与积分 二、对数求导法 方法: 观察函数 先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数. ——对数求导法 适用范围:

第二章导数与积分例5设区0),求另种写法解等式两边取对数得利用换底公式改写E in esin dn In y= sin x·ln x上式两边对x求导得再用复合函数链式法则11y' = esinxInx (sin x In x)yy = cos dn sin x11)=y(cos x·ln x+sin x.七: y' =y( cos x ln x + sin x.xsin xysinx=xsinxcos x - ln x +=xsinxcosx·In x +xx第四节隐函数和参数方程求导相关变化率

第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率 第二章 导数与积分 设 ᵯ= ᵯ sin ᵯ 例5 ,(ᵯ＞0), 求 ᵯ′. 解 等式两边取对数得 1 y y′ = cos ᵯ·ln ᵯ+ sin ᵯ·  1 x 另种写法 利用换底公式改写 ᵯ= ᵯ sin ᵯ= e sin ᵯln ᵯ 再用复合函数链式法则

第二章导数与积分一般地 y=u(x)(x) (u(x) >0)殊途同归换底取对数: y'= ev(x).In u(x): In y = v(x) · In u(x)y"= (v(x) · In u(x)" y' =ev(x)-In u(x) (v(x) · In u(x): y' = y(v(x) In u(x))" y' = y(v(x) In u(x))v(x)u(x))y'= u(x)(x) (x) In u(x) +u(x)第四节隐函数和参数方程求导相关变化率

第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率 第二章 导数与积分 一般地 殊途同归 取对数 换底

第二章导数与积分三、由参数方程确定的函数的导数x = p(t),确定y与x间的函数关系，称此为由参数方程若参数方程(y=(t)所确定的函数消去参数t1x2x = 2t,例如：y=.. C= 2(y=t?,4x = a(t-sint)摆线消参困难！(y= a(1 - cos t)问题消参困难或无法消参如何求导？第四节隐函数和参数方程求导相关变化率

第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率 第二章 导数与积分 三、由参数方程确定的函数的导数 问题 消参困难或无法消参如何求导？ 例如: ∴ ᵯ′ = 1 2 ᵯ 消去参数t 消参困难！