《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）7.5 可降阶的高阶微分方程

第五节可降解的高阶微分方程一、y(n) = f(x)型二、y" =f(x,y)型三、 y"= f(y,y)型

第五节 可降解的高阶微分方程

第七章微分方程一、 y(n)=f(x)型的微分方程特点：方程y(n）=f(αx)右端仅含自变量x.[y(n) dx= [I f(x) dx解法：方程两端积分，得y(n-1) = f(x)dx+ C1即y(n-2) = JJf(x)dx+Ci]dx+C2同理可得= JuJr(x)dx Jdx + Cix+C,I依次通过n次积分可得含n个任意常数的通解第五节可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程 第七章 微分方程 解法: 特点: 一、 方程两端积分,得 即 同理可得 + C1x + C2 依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解

第七章微分方程例1 求解 y"= e2 cosx.(e2x - cos x) dx + Ci解y"=1e2x - sin x + Ci21e2x+cosx+41e2x+sinx+国+中心V81(此处)第五节可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程 第七章 微分方程 例1 解 + ᵆ′ 1ᵆ+ ᵆ2 + ᵆ2 ᵆ+ ᵆ3 + ᵆ1ᵆ2 (此处 ᵆ1 = 1 2 ᵆ′ 1 )

第七章微分方程例2质量为m的质点受力F的作用沿0x轴作直线运动,设力F仅是时间t的函数：F=F(t).在开始时刻t=0时F(O)=Fo,随着时间的增大,此力F均匀地减小直到t=T时F(T）=0.如果开始时质点在原点，且初速度为0，求质点的运动规律，yF解F(0-Fo(1-)设运动规律为x=x(t)根据牛顿第二定律，可得初值问题rT第五节可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程 第七章 微分方程 解 初速度为0,￾求质点的运动规律. 根据牛顿第二定律,￾可得初值问题

第七章微分方程d?xFoL1dt27mdxyA= 0.0xt=0=dtIt=0FoF(t)-Fo(1-对方程两边积分，得dxFooTdt27mdx利用初值条件得C;=0,，于是=0dtlt=0t2dxFodt2Tm第五节可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程 第七章 微分方程 对方程两边积分,￾得 利用初值条件 于是

第七章微分方程dxFo2Tdtm上述方程两边积分，得(t213Fox-26Tm得C，=0于是所求运动规律为由初值条件xlt=0=0(t213Fo0≤t≤Tx=26Tm第五节可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程 第七章 微分方程 上述方程两边积分,￾得 由初值条件 得 C2 ￾=￾0,于是所求运动规律为

第七章微分方程二、y"=f(x,y')型的微分方程特点：方程y"=f(xy)右端不显含未知函数ydp解法：设y=p,则y"=p',一dxp= f(xp)故方程化为p = β(x1),设其通解为则得y' = p(xC1),β(x,C1)dx + C2再一次积分，得原方程的通解y=第五节可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程 第七章 微分方程 设 故方程化为 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 二、 解法: 特点: 方程 y ″ = f(x,y ′ )右端不显含未知函数y. p ′ = f(xp, ). p = φ(x,C1), y ′ = φ(x,C1), y ′ = p

第七章微分方程求微分方程1+×2)y"=2xy"满足初值条件例3ylx=0=1,'lx=0 =3的特解解令则y"=p，原方程变形为2xdp(1 + x2)p' = 2xp,dx=1 +x2p,dp2xdx,分离变量，得1 + x2p两边积分，得Inpl=ln(1+x2）+C,p = y = C,(1 + x2) 上式再两边积分，得y=C1x+X+C23由初值条件可求得特解为y=×3+3x+1.第五节可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程 第七章 微分方程 解 原方程变形为 分离变量,￾得 两边积分,￾得 上式再两边积分,￾得 由初值条件可求得特解为 例3 求微分方程 满足初值条件 的特解. (1 + x 2 )y ″ = 2xy ′ 令ᵆ ′ = ᵆ, 则y ″ = p′ , (1 + x 2 )p′ = 2xp, p = y ′ = C1(1 + x 2 ) . y = x 3 + 3x + 1

第七章微分方程例4设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线？解取坐标系如图.考察最低点Ay到任意点M(x,y）弧段的受力情况A点受水平张力H，HipgsM点受切向张力T，xo弧段重力大小gs（口：密度，s：弧长）第五节可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程 第七章 微分方程 解 例4 设有一均匀、柔软的绳索,两端固定,绳索仅 受重力的作用而下垂,试问该绳索 在平衡状态时是怎样的曲线？ 取坐标系如图. 考察最低点 A 弧段重力大小 ￾ gs ( ￾ : 密度,￾s￾:弧长)． A 点受水平张力 H, M￾点受切向张力T

第七章微分方程按静力平衡条件，有Tcos=H,Tsinθ=pgs,1Htan两式相除得Saapg)1112dx故有FaJOT0设[OA|=α，则得定解问题MAHpgsylx=0 = α, y'lx=0 = 0.ox第五节可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程 第七章 微分方程 按静力平衡条件,￾有 故有 两式相除得 ᵆ′ = 1 ᵆ