《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）§2.3 向量组的线性相关性

线性代数 第二章我尔我桃川科$ 2.3向量组的线性相关性、线性组合线性相关与线性无关三、向量组线性相关性的判定四、向量组的等价五、向量组的最大无关组六、向量空间的基与向量的坐标七、小结上页下页返回

线性代数 第二章 一、线性组合 二、线性相关与线性无关 三、向量组线性相关性的判定 四、向量组的等价 五、向量组的最大无关组 六、向量空间的基与向量的坐标 七、小结 §2.3 向量组的线性相关性 上页 下页 返回

线性代数 第二章新尔我桃川科$ 2.3.1向量组的线性相关性(一)线性组合一线性相关与线性无关二、乡

线性代数 第二章 §2.3 .1 向量组的线性相关性(一) 一、线性组合 二、线性相关与线性无关

线性代数 第二章我南乐我桃川料一、线性组合在向量线性运算的基础上，本节来讨论向量之间的关系，定义2.3.1对于向量α1,αz…，αm和α，若存在m个数A1,22...,am，使得：α= a,αj + 2α+ ...+ Amαm则称α是α1,α2……,αm的线性组合，1,2,……，m称为组合系数,或称向量α可由向量组αα…….αm线性表示.显然，零向量是任何一组向量的线性组合

线性代数 第二章 一、线性组合 在向量线性运算的基础上,本节来讨论向量之间的关系. 定 义 2.3.1 对 于 向 量  1 ,2 ,., m 和  ， 若 存 在 m个 数 1 ,2 ,., m ，使得：  = 11 + 22 + .+  mm 则称是1 ,2 ,.,m的线性组合，1 ,2 ,. , m 称为组合系数,或 称向量 可由向量组1 ,2 ,.,m线性表示 . 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

线性代数 第二章我新我桃科例1设n维向量81 =(1,0,..., 0)82 =(0,1,...,0)8n = (0,0,...,1)α=(a,az,.….,a)是任意一个n维向量，由于α=ae+a,e2+...+anen所以α是8j,82…,8,的线性组合.通常称81,82，...,8n为n维单位坐标向量组.同维数的向量所组成的集合称为向量组

线性代数 第二章 1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n     =  =  =  =  例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 1 1 2 2 1 2 , , , . n n n     a a a     = + ++ 所以 是  的线性组合 同维数的向量所组成的集合称为向量组. 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组

线性代数 第二章教州尔秋城川料例2 证明向量α=(0,4,2)是向量α,=(1,2,3),α, =(2,3,1)，α,=(3,1,2)的线性组合，并将α用α,αz,α,线性表示=即解：先假定(0, 4,2) = 2,(1,2,3) + 2,(2,3,1) + 2 (3,1,2)=+2+322+3+3++2）因此 +2 +3, =0,2+3+=4,3 + +2=2

线性代数 第二章 1 2 3 1 2 3 2 (0,4, 2) (1, 2, 3) (2, 3,1) (3,1, 2) , , .         = = = = 例 证明向量 是向量 ， ， 的线性组合，并将 用 线性表示 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) = + +    1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.           + + =   + + =   + + = 解：先假定        = + + 1 1 2 2 3 3， 即

线性代数 第二章新乐我桃川博由于该线性方程组的系数行列式31223.=-18±02由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出, =1,, =1,, =-1于是α可表示为α=α, +α-α3

线性代数 第二章 由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2 = −  由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3    = = = − 1, 1, 1 于是 可表示为     = + − 1 2 3

线性代数 第二章我南乐我桃川科一般地，α与α,α……,αm必为且仅为一下三种情形之一：，且表达式唯一；10α可由αj,αz..…,αm的线性表示，2°α可由α1,α2………,αm的线性表示，但表达式不唯一：3°α不能由αi,αz….αm的线性表示

线性代数 第二章 一般地， 与1 ,2 ,., m 必为且仅为一下三种情形之一： 1 0  可由1 ,2 ,.,m 的线性表示，且表达式唯一； 2 0  可由1 ,2 ,.,m 的线性表示，但表达式不唯一； 3 0  不能由1 ,2 ,.,m的线性表示

线性代数 第二章对于n元线性方程组：我南乐我桃科anxi+aix+...+anxn=ba21xi+a22x2+...+a2nxn=b,amixi+am2x2+.+amx,=b若以α；表示其中第j个未知量的系数构成的m维列向量，即biajb2anjj=1,2,..,n 且 β=α-一bamjm

线性代数 第二章 对于 元线性方程组: 若以 表示其中第 j 个未知量的系数构成的 维列向量，即 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 . . . . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + =  j 1 2 1, 2, , j j j m j a a j n a        = =         n 1 2 m b b b        =        且 m

线性代数 第二章我乐装光二真那么，方程组(右可以表示为ax +ax +... +anx, =bia21i+a22x+...+a2nx,=bXa+x,a,+...+x,a,=βam,+am2+...+ammx,=b,m于是，方程组有没有解的问题就转化为向量β能否由向量组α1，α2.……，αm线性表示当β能由向量组α,,αz，αm线性表示且表达式唯一时，方程组有解且解唯一

线性代数 第二章 那么，方程组(右)可以表示为 1 1 2 2 n n x x x     + ++ = 于是，方程组有没有解的问题就转化为向量 能否由 向量 组 1 ,2 ,., m 线性表示. 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 . . . . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  当  能由向量组 线性表示且表达式唯一时, 方程组有解且解唯一. 1 2 , ,    m

线性代数 第二章教南乐我桃川料二、线性相关与线性无关定义2.3.2设n维向量组α1 , α2...., αm "如果存在不全为0的m个数kj，k2，.….，km，使得kjαi + k,α +...+kmαm = 0则称向量组αi,α2……,αm线性相关,否则称它们线性无关.注：α1，α2……,αm线性无关,就是kjαi+ kzαz +...+kmam=0ki=kz=... =km=0

线性代数 第二章 定义2.3.2 设n维向量组 1 , 2 ,., m ， 如果存在不全为0的m 个数k1，k2，.，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 注： 1 ,2 ,.,m 线性无关,就是 k11 + k22 + .+ kmm = 0 k1 = k2 = . = km= 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性无关. 二、线性相关与线性无关