《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）5-2 方阵的特征值与特征向量

S 5.2方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值与特征向量的概念二、方阵的特征值与特征向量的性质三、方阵的特征值与特征向量的求法

§5.2 方阵的特征值与特征向量 一、方阵的特征值与特征向量的概念 二、方阵的特征值与特征向量的性质 三、方阵的特征值与特征向量的求法

线性代数第五章一、方阵的特征值与特征向量的概念定义5.2.1设A是n阶矩阵，若存在实数入和非零向量x,使得Ax=x成立，则称数a为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量说明：1.一个特征向量只能属于一个特征值，但是一个特征值可能有多个特征向量；2.n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组(A-E)x=0有非零解的值，即满足方程A-E=0的入都是矩阵A的特征值

线性代数 第五章 5.2.1 , . A n x Ax x A x A     = 设 是 阶矩阵，若存在实数 和非零向 量 使得 成立，则称数 为方阵 的 非零向量 称为 的对应于特 特 征值 的 征 值， 特 定 征向量 义 1.一个特征向量只能属于一个特征值， 但是一个特征值可能有多个特征向量； 2. , ( ) 0 , 0 . n A A E x A E A     − = − = 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 有非零解的 值 即满足方程 的 都是矩阵 的特征值 一、方阵的特征值与特征向量的概念 说明：

线性代数 第五卖由定义5.2.1得A-E=0au-aa12aina2 -a21a2n=0一-2a,aanln2nn称以a为未知数的一元n次方程A－E=0为方阵A的特征方程记f(a)=A-aE|,它是a的n次多项式，称其为方阵A的特征多项式

线性代数 第五章 由定义5.2.1 0 得 A E − =  11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a    − −  = − 0 , n A E A 称以  为未知数的一元 次方程 − = 为方阵 的特征方程 ( ) , , . A f A E n A 记    = − 它是 的 次多项式 称其为方阵 的特征多项式

线性代数 第五幸3.设n阶方阵A=(a,)的特征值为,z,元,,则有(1) A, + 2, +..+an = ai1 +a22 +..+amn;(2) 2,22 .an =[A.通常称au+a22++a为矩阵A的迹，记作Tr(A),即Tr(A)= au + a22 +...+annn

线性代数 第五章 1 2 3. ( ) , , , , ij n n A a    设 阶方阵 = 的特征值为 则有 (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12  n = A 11 22 11 22 Tr( ), Tr( ) nn nn a a a A A A a a a + + + = + + + 通常称 为矩阵 的迹，记作 即

线性代数第五卖3例1求方阵A=的特征值和特征向量3-1 解：A的特征多项式为3-2-1A-ZE= (4 - 2)(2 - 2)3-2-1= A的特征值为,=2，,=4下边求特征向量（解（A-ΛE)X=O）

线性代数 第五章    − − − − − = 1 3 3 1 A E 3 1 1 3 1 A   − =     − 例 求方阵 的特征值和特征向量 = (4 − )(2 − ) 1 2  = = A的特征值为  2, 4 解：A的特征多项式为 下边求特征向量( ) 解( ) A E X O − = 2

线性代数第五卖（解(A-2E)X=0对 = 2,[3-2-11X1[=0(A-2E)x =-1 3-2//x,X基础解系：P=(1，1),：: Pi =(1,1)为属于特征值2的一个特征向量,其全部特征向量为kpi（k≠0);同理可求属于孔,=4的一个特征向量为 2=(-1,1)其全部特征向量为p2(k ±0)

线性代数 第五章 2, 对1 = 1 2 3 2 1 ( 2 ) 1 3 2 x A E x x   − −   − =      − −   下边求特征向量( ) 解( ) A E X O − = 2 0 ; 其全部特征向量为kp1 （k  ） 1  = 基础解系: (1 1) p ，  ， 1  = p (1, 1) 2 , 为属于特征值 的一个特征向量 1 2 1 1 0 0 0 x x   −     =      即 = 2 2 同理可求属于 = = − 4 ( 1 1) , 的一个特征向量为 p ，  ( 0). 其全部特征向量为kp2 k 

线性代数 第五幸求特征值与特征向量的步骤1.解A-aE=0求出a的值，即求特征值；2. 对每一个入,求方程组(A-2E)x=0的基础解系，即得到属于这个特征值的线性无关的特征向量n-R(A-E)个

线性代数 第五章 1. 0 , 解 A E − =   求出 的值 即求特征值； 2. , ( ) A E O x  − =  对每一个 求方程组 的基础解系， 求特征值与特征向量的步骤： n –R(A–λE)个 即得到属于这个特征值的线性无关的特征向量

线性代数 第五享01-1例2 求矩阵A=的特征值和特征向量-430A的特征多项式为解0-1-2103-2A-E==(2 - 2)(1- 2)2-402-2所以A的特征值为i = 2,2= 3 =1

线性代数 第五章 1 1 0 4 3 0 . 1 0 2 2 A   −   = −       例 求矩阵 的特征值和特征向量 解 2 1 1 0 4 3 0 (2 )(1 ) , 1 0 2 A A E       − − − = − − = − − − 的特征多项式为 2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 =

线性代数第五卖当a1=2时,解方程(A-2E)x=0.由A-2E=0得基础解系 Pi=所以kp(k0)是对应于a,=2的全部特征向量

线性代数 第五章 1 0 , 0 1 p     =       得基础解系 1 1 所以kp k( 0) 2 .  = 是对应于 的全部特征向量 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由 3 1 0 1 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 A E ,     −     − = −             ~

线性代数第五卖当22= 23=1时,解方程(A-E)x= 0.由A-E=得基础解系 Pz=-2所以kpz(k±0)是对应于,=,=的全部特征向量

线性代数 第五章 2 1 2 , 1 p   −   = −       得基础解系 2 2 3 所以kp k( 0) 1 .  = = 是对应于  的全部特征向量 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 , 1 0 1 0 0 0 A E     −     − = −             ~