《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）5-4 实对称矩阵的相似对角形

线性代数 第五章$ 5.4实对称矩阵的相似对角形实对称矩阵的性质一、二、实对称矩阵对角化的方法三、小结

线性代数 第五章 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵对角化的方法 三、小结

线性代数第五车实对称矩阵的性质一、上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题现在来解决本章的主要问题，即如何用正交矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似。下面来看三个引理.证明过程课下掌握

线性代数 第五章 一、实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在来解决本章的主要问题，即如何用正交矩阵使 实对称矩阵与对角矩阵相似. 下面来看三个引理.证明过程课下掌握

线性代数第五享引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数引理5.4.1的意义由于对称矩阵A的特征值.为实数.所以齐次线性方程组(A- 2,E)x = 0是实系数方程组,由A-α,E=0知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量

线性代数 第五章 引理5.4.1的意义 , ( ) 0 , 0 , . i i i A A E x A E    − = − = 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 线性方程组 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 系 从而对应的特征向量可以取实向量 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数

线性代数第五章引理5.4.2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的引理5.4.3设A为n阶对称矩阵，a是A的特征方程的r重根，则矩阵A一aE的秩为n一r.从而对应特征值a恰有个线性无关的特征向量设A为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使定理5.4.1(实对称矩阵基本定理）P-IAP=Λ，其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵

线性代数 第五章 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的. , , 5.4.3 , . A n A r A E n r r  − −   设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则矩阵 的秩为 从而对应特征值 恰有 个线性无关的特 引 征向量 理 1 , , 5.4. , . 1 A n P P AP A n − =   设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值为对角元素的对 理 角矩阵 定 定理5.4.1 (实对称矩阵基本定理)

线性代数第五章证明：设A的的互不相等的特征值为,2，…,,它们的重数依次为r,2,….,r,(r+r+.….+r,=n).根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和引理5.4.3(r重根恰有r个线性无关的特征向量)可得：对应特征值a,(i=1,2,.…,s),恰有r个线性无关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得r个单位正交的特征向量.而由(r +r +.…+r,=n)知，这样的特征向量共有n个

线性代数 第五章 证明： 1 2 , , , , 设A的的互不相等的特征值为  s 1 2 1 2 , , , ( ). s s 它们的重数依次为r r r r r r n + + + = 根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和引 理5.4.3(r重根恰有r个线性无关的特征向量)可得： 1 2 ( 1,2, , ), , , . ( ) . i i i s i s r r r r r n n  = + + + = 对应特征值 恰有 个线性无 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 单位正交的特征向量 而由 知， 这样的特征向量共有 个

线性代数第五车由引理5.4.2(不同特征值的特征向量正交)知对应于不同特征值的特征向量正交，所以这n个单位特征向量两两正交以它们为列向量构成正交矩阵P，有：P-1AP= P-PA = A其中对角矩阵Λ的对角元素含r个，,r个a,恰是A的n个特征值

线性代数 第五章 由引理5.4.2(不同特征值的特征向量正交)知对应 于不同特征值的特征向量正交，所以这n个单位特 征向量两两正交. =  =  − − P AP P P 1 1 1 1 , , , . s s r r A n 其中对角矩阵的对角元素含 个  个 恰 是 的 个特征值 以它们为列向量构成正交矩阵P，有：

线性代数第五章二、实对称矩阵对角化的方法根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：1.求A的特征值2.由(A-2,E)x =0,求出A的特征向量;3.将特征向量正交化：4.将特征向量单位化5.以特征向量为列向量写出正交矩阵

线性代数 第五章 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 3.将特征向量正交化; 4.将特征向量单位化. 2. ( ) 0, ; 由 A E x A − = i 求出 的特征向量 二、实对称矩阵对角化的方法 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵. 1.求A的特征值

线性代数 第五章0例1 设A=330求正交矩阵P，使P-1AP为对角形矩阵解(1)第一步 求A的特征值004-2= (2-2)(4- 2)203-元1A-2E=013-2得特征值 = 2,2 = = 4

线性代数 第五章     − − − − = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A E 2 = − − (2 )(4 ) ,   2, 4. 得特征值 1 = 2 = 3 = 1 4 0 0 1 0 3 1 0 1 3 . A P P AP −     =       例 设 ， 求正交矩阵 ，使 为对角形矩阵 解 (1)第一步 求A的特征值

线性代数 第五章(2)第二步由(A-α,E)x=0,求特征值a,对应的特征向量0对 , =2,由(A-2E)x =0,得基础解系, = 1-1对 , = , = 4,由(A-4E)x = 0,得基础解系075,与恰好正交52 = 0 53 =1LO工所以，52，5两两正交

线性代数 第五章 (2) 0, 第二步 由( A E x − =   i i ) 求特征值 对应的特征向量 1 1 0 2, ( 2 ) 0, 1 1   A E x     = − = =       − 对 由 得基础解系 2 3 2 3 4, ( 4 ) 0, 1 0 0 1 , . 0 1   A E x   = = − =         = =             对 由 得基础解系 ,  2与 3恰好正交 , , . 所以 1  2  3两两正交

线性代数 第五章(3)第三步，再将51,52,5,单位化5i(i=1,2,3)得令ni15;01/V21/ V22 , n2 =0 |, n3 =ni =1LO[1/ ~2[-1/ ~V2

线性代数 第五章 1 2 3 (3) , , , 第三步，再将    单位化 1 2 3 0 0 1 1 2 0 1 2 , , . 1 2 1 2 0                = = =             −       ( 1,2,3) i i i i    令 = = 得