《高等数学》课程教学资源（书籍教材）高等数学Ⅱ_高数上册习题解答

CollegeMathematics GuidanceSeries大学数学学习辅导丛书高等数学习题全解指南上册同济·第七版同济大学数学系编高等教育出版社

ollegealhematics/uidanceeriesM大学数学学习辅导丛书高等数学习题全解指南上册同济·第七版同济大学数学系编ollegelathematicsuidanceeries大学数学学习辅导丛书GAODENGSHUXUEXITIQUANJIEZHINAN高等毅育出版社·北京

内容提要本书是与同济大学数学系编写的《高等数学》（第七版）相配套的学习辅导书，由同济大学数学系的教师编写。本书内容由三部分组成，第一部分是按《高等数学》（第七版）（上册）的章节顺序编排，给出习题全解，部分题目在解答之后对该类题的解法作了小结、归纳，有的提供了多种解法：第二部分是全国硕士研究生入学统一考试数学试题选解，所选择的试题以工学类为主，少量涉及经济学类试题：第三部分是同济大学高等数学试卷选编以及考题的参考解答。本书对教材具有相对的独立性，可为学习高等数学的工科和其他非数学类专业学生以及复习高等数学准备报考硕士研究生的人员提供解题指导，也可供讲授高等数学的教师在备课和批改作业时参考。图书在版编目（CIP）数据高等数学习题全解指南：同济第7版.上册/同济大学数学系编：-北京：高等教育出版社，2014.7ISBN978-7-04-039691-1I.①高·I.①同Ⅲ.①高等数学-高等学校题解V.1013-44中国版本图书馆CIP数据核字（2014）第095897号王强特约编辑张让让封面设计：王凌波策划编辑责任编辑于丽娜于婕刘丽娴责任印制朱学忠版式设计插图绘制杜晓丹责任校对4008100598出版发行咨询电话高等教育出版社社址网北京市西城区德外大街4号址http://www.hep,edu.cn邮政编码100120http://www.hep-.com.cn印刷高教社（天津）印务有限公司网上订购http://www.landraco.com开本787mmx960mm1/16http://www.landraco.com.en印张25.25版次：2014年7月第1版字数印2014年7月第1次印刷460千字次定价购书热线010-5858111836.70元本书如有缺页、倒、脱页等质量间题，请到所购图书销售部门联系调换版权所有侵权必究物料号39691-00

前言由同济大学数学系编写的《高等数学》（第七版）已作为“十二五“普通高等教育本科国家级规划教材于2014年正式出版。本书是《高等数学》（第七版）的配套用书，主要是为学习高等数学的大学生以及复习高等数学准备报考硕士研究生的人员提供一本解题指导的参考书，也可供讲授高等数学的教师在备课和批改作业时参考。本书内容由三部分组成，第一部分是《高等数学》（第七版）的习题全解，包括各章的习题与总习题及解答。在解答中，有的题在解答之后，以注释的形式对该类题的解法作了归纳小结，有的题提供了常用的具有典型意义的多种解法。第二部分是全国硕士研究生入学统一考试数学试题选解，包括函数、极限、连续，一元函数微分学，一元函数积分学，微分方程，空间解析几何与向量代数，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数等八项内容，每项选编的题量在30题左右，其中不乏近儿年入学统一考试的试题。在每道试题的前面都注明了试题的年份及类别，如（2010.I）表示为2010年第一类考题。所选择的试题以工科类为主，少量步及经济学类试题，每道试题都给出了解题的思路与方法，有的还给出了多种解法，以供读者参考。第三部分是同济大学高等数学试卷选编，这部分已作了全部更新，按上、下册内容，选了期中、期末各两套试卷，并提供了试题的参考解答。本书由同济大学数学系的教师编写，其中第一部分第一、九章，第二部分（一）、（二）、（六）由邱伯完成：第一部分第二、三、八章由徐建平完成：第一部分第四、五、六章，第二部分（三）由朱晓平完成：第一部分第七、十二章，第二部分（四）、（八）由应明完成：第一部分第十、十一章，第二部分（五）、（七）由郭镜明完成：第三部分由朱晓平完成。在使用本书时，建议读者在个人学习、练习的基础上，再加以参考、对照，找出自己在知识掌握方面的不足，学习分析、解题的方法和思路，学会举一反三，采取这种方式参考本书，必能从中获益。本书中存在的问题，欢迎广大专家、同仁和读者批评指正。编者二O一四年六月

目录《高等数学》（第七版）上册习题全解第一章函数与极限习题1-1映射与函数.312习题1-2数列的极限16习题1-3函数的极限20习题1-4无穷小与无穷大23习题1-5极限运算法则27习题1-6极限存在准则两个重要极限29习题1-7无穷小的比较31习题1-8函数的连续性与间断点35习题1-9连续函数的运算与初等函数的连续性习题1-1039闭区间上连续函数的性质总习题41第二章导数与微分4949习题2-1导数概念55习题2-2函数的求导法则62习题2-3高阶导数67习题2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率74习题2-5函数的微分79总习题第三章微分中值定理与导数的应用87习题3-187微分中值定理91习题3-2洛必达法则95习题3-3泰勒公式习题3-4函数的单调性与曲线的凹凸性99

目II录习题3-5函数的极值与最大值最小值109习题3-6函数图形的描绘118习题3-7曲率123126习题3-8方程的近似解总习题三129第四章不定积分139139习题4=1不定积分的概念与性质习题4-2换元积分法144习题4-3151分部积分法156习题4-4有理函数的积分161习题4-5积分表的使用166总习题四定积分第五章178178习题5-1定积分的概念与性质184习题5-2微积分基本公式190习题5-3定积分的换元法和分部积分法198习题5-4反常积分200习题5-5反常积分的审敛法F函数203总习题五第六章定积分的应用216216习题6-2定积分在几何学上的应用229习题6-3定积分在物理学上的应用233总习题六242第七章微分方程242习题7-1微分方程的基本概念245习题7-2可分离变量的微分方程251习题7-3齐次方程258习题7-4一阶线性微分方程.266习题7-5可降阶的高阶微分方程273习题7-6高阶线性微分方程279习题7-7常系数齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程284习题7-8·习题7-9295欧拉方程

目录II299：习题7-10常系数线性微分方程组解法举例306总习题七全国硕士研究生人学统一考试数学试题选解极限连续（一）函数323（二）一元函数微分学334（三）一元函数积分学350（四）微分方程362同济大学高等数学试卷选编（）高等数学（上）期中考试试卷（1）379试题379参考答案·380（二）高等数学（上）期中考试试卷（Ⅱ）383试题383参考答案384（三）高等数学（上）期末考试试卷（I）387387试题参考答案388（四）高等数学（上）期末考试试卷（Ⅱ）391试题391392参考答案

一、《高等数学》（第七版）上册习题全解

第一章函数与极限习题1-1映射与函数1.求下列函数的自然定义域1(1)y=/3x+2;(2)y=1-21(3) y=/1-;(4) y=V4-x2(5)y=sin /x;(6)y=tan(x+1);1(8)y=/3-x+arctan(7)y=arcsin(x-3);x(10)y=e(9) y=In(x+1);号,即定义域为[-%, +8 ),解（1）3x+2≥0=x≥3(2）1-x2±0=x≠±1即定义域为（-8，-1)U（-1,1)U（1，+）（3）x手0且1-x≥0=x≠0且1x|≤1，即定义域为[-10)U（0,1]（4）4-x2>0→1xl0=x>-1.即定义域为（-1，+8）（10）x半0即定义域为（-,0）U（0，+），注本题是求函数的自然定义域，一般方法是先写出构成所求函数的各个简单函数的定义域，再求出这些定义域的交集，即得所求定义域。下列简单函数及其定义域是经常用到的：Q(x),P(x)±0;y=p(x)y=x,x≥0;y=logax,x>0;

4一、《高等数学》（第七版）上册习题全解y=tan x,x+(T,keZ:Ly=cotx,x+kT,heZ;y=arcsinx,lxl≤1;y=arccos x,Ix/≤1.2.下列各题中，函数fx）和g（x）是否相同？为什么？(1)f(x)=lgx2,g(x)=21gx;(2) f(x) =x,g(x)=/x;(3) f(x) =V4-x,g(x) =x /x-I:(4) f(x) =1,g(x) = sec2 x -tan x.解（1）不同，因为定义域不同「x,x≥0,（2）不同，因为对应法则不同，g(x）=/2=x.x<0（3）相同，因为定义域、对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设Ix/<=IsinxI.3p(x)=Ix/≥T0,3求(),()(-)，（-2),并作出函数y=4()的图形，2T(一)- sin sin解442/2)=sin2(-2) =0.-（-Ay=（x）的图形如图1-1所示，YI0[图1-14.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1)y=(-8,1) ;1-*