《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章课件_4-5 高阶线性微分方程

7. 6高阶线性微分方程

7.6 高阶线性微分方程

高阶线性微分方程高阶微分方程的概念线性微分方程的结构

高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构

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高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构

Q引例u例1设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体.当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等、方向相反.物体的初始速度为V。口0，阻力的大小与运动速度成正比、方向相反确定物体的振动规律

Ø引例 u例1 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量 为m的物体.当物体处于静止状态时，作用在物体上的 重力与弹性力大小相等、方向相反.物体的初始速度为 阻力的大小与运动速度成正比、方向相反， 确定物体的振动规律

①二阶线性微分方程形式： yp(x)yq(x)yf(x)为一次特点：关于①n阶线性微分方程形式: y(") a,(x)y(n) an(x)ya,(x)y f(x)特点：关于为一次分类：非齐次f(x) 0 齐次L f(x) 0对比：一阶线性方程yP(x)yQ(x)(x)dxP(x)dxP(x)dxdxyCeQ(x)e通解De推广：：齐次方程通解】非齐次方程特解

齐次方程通解Y 非齐次 齐次 一阶线性方程 通解 : 非齐次方程特解 Ø二阶线性微分方程 形式： 特点： Øn阶线性微分方程 形式： 特点：关于 为一次 关于 为一次 分类： 对比： 推广：

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线性微分方程解的结构二(一）线性齐次方程解的结构(二)线性非齐次方程解的结构

二、线性微分方程解的结构 （一）线性齐次方程解的结构 （二）线性非齐次方程解的结构

线性微分方程解的结构二(一）线性齐次方程解的结构(二)线性非齐次方程解的结构

二、线性微分方程解的结构 （一）线性齐次方程解的结构 （二）线性非齐次方程解的结构

①定理1若函数J(x),y2(x)是二阶线性齐次方程yP(x)yQ(x)y 0的两个解,则Cy(x)C,yz(x)(Cr,C,为任意常数)（叠加原理）也是该方程的解I注C,J(x)C2J2(x)不一定是所给二阶方程的通解例：yi(x)是某二阶齐次方程的解，y2(x）□2yi(x)也是齐次方程的解Ciyi(x)C2y2(x）(C2C2)yi(x）并不是通解

(叠加原理) Ø定理1 l注 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 例: 不一定是所给二阶方程的通解. 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 则 为任意常数) 若函数