《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章课件_7.5对弧长的曲线积分

曲线积分乌曲面积分曲面积分积分学曲线积分定积分二重积分三重积分空间域曲线域曲面域积分域区间域平面域对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分曲面积分对坐标的曲面积分

积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分

第一节对狐长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分的概念与性质一、1.引例：曲线形构件的质量B假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为p(x,y,z),Mk(Ek,nk,Sk)Ask采用为计算此构件的质量Mk-1“大化小,常代变近似和，求极限福nAZ可得M = limp(Ek,nk,Sk)As1-0k=1HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得  = n k 1 M = 为计算此构件的质量, k s Mk−1 Mk ( , , )  k k  k 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.定义设「是空间中一条有限长的光滑曲线，f(x,y,z)是定若通过对「的任意分割和对义在上的一个有界函数局部的任意取点，，下列“乘积和式极限(Ek,nk,Sk)n记作Zlimf(x, y,2)dsf(Ek,nk,Sk)Ask1-0k=l都存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲线或第一类曲线积分厂上对弧长的曲线积分f(x,y,z)称为被积函数,I 称为积分弧段T曲线形构件的质量M = Irp(x, y,z)dsHIGH EDUCATION PRESS上页返回结束机动目录下页

 设  是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, k k k k f ( , , )s 都存在, 上对弧长的曲线积分, = 记作  f (x, y,z)ds 若通过对  的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量  M =  (x, y,z)ds  = n k 1 0 lim → k s Mk−1 Mk ( , , )  k k  k 和对 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果L是xoy面上的曲线弧，则定义对弧长的曲线积分为nEf(Ek,nk)Ask f(x,y)ds = lim元0k=l如果L是闭曲线，则记为f, f(x,y)ds.思考：(1)若在L上f(x,y)=l，问「(ds表示什么？(2）定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例否！对弧长的曲线积分要求ds≥0，但定积分中dx可能为负HIGHEDUCATIONPRESS返回机动目录上页下页结束

如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , k k n k k =  f s = → lim ( , ) 1 0    L f (x, y)ds 如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d 表示什么? L s (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds  0 , 但定积分中 dx 可能为负

3.性质(1)[r[ f(x, y,z2)±g(x, y,z) ]ds=J,f(x,y,2)ds ±|[g(x, y,z)ds(k为常数)(2)_k f(x, y,z)ds = k J f(x, y,z)dsf(x, y,z)ds3)f(x,y,z)ds +If(x, y,z)ds = ((由,2组成)(4)(1为曲线弧「的长度)ds=[HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

3. 性质 (1)  f (x, y,z) ds  （k 为常数)  (3) f (x, y,z)ds (  由 组成) ( l 为曲线弧  的长度)  g(x, y,z)  = f (x, y,z)ds g(x, y,z)ds       = + 1 2 f (x, y,z)ds f (x, y,z)ds 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、对弧长的曲线积分的计算法转化一计算定积分求曲线积分基本思路：设f(x,y)是定义在光滑曲线弧定理：L:x=Φ(t),y=y(t) (α≤t≤β)/f(x,y)ds存在,且上的连续函数，则曲线积分Of[p(t), y(t)lVp'-(t)+ y'?(t)d t[, f(x,y)ds =参数方程形式计算公式证：根据定义nEf(Ek,nk)Ask[,f(x,y)ds= lim0k=1HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

  =  +    f x y ds f  t  t  t  t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 k k n k k =  f s = → lim ( , ) 1 0    机动 目录 上页 下页 返回 结束 参数方程形式计算公式

设各分点对应参数为tk（k=0,l,,n)点(k,nk)对应参数为 [tk-1,tk],tk2(t)+y'(t)dtAsktk-l+y'"(tk)Atk, tk e[tk-1,tk]S'2则 J, f(x,y)ds7Ef[p(tk),y(tk)1 /p'?(th)+y"2(th)tklim1-0k=1注意/"(t)+y"(t)连续nZ.lim三f[p(tk),y(tk)l/p"TAt211-0k=1HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

点 ( , )  k k s t t t k k t t k ( ) ( ) d 1 2 2  −  =  + ( ) ( ) , 2 2 k k k =    +   t  = → = n k 1 0 lim  [ ( ), ( )] k k f     注意  2 (t) + 2 (t)连续 设各分点对应参数为 对应参数为 则  = → = n k 1 0 lim  [ ( ), ( )] k k f     机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此, f(x,y)dsfp(t),y(t)lVp'-(t)+ y'2(t)dt说明：(1):△sk>0,:△tk>0,因此积分限必须满足α<β！(2)注意到ds = V(dx)? +(d y)2ds/Adyo'(t)+y'2(t)dtdxx因此上述计算公式相当于“换元法”xHIGHEDUCATIONPRESS返回上页结束机动自录下页

dx dy ds x y o 说明: (1)   0,  0, k k  s t 因此积分限必须满足    ! (2) 注意到 2 2 ds = (d x) + (d y) (t) (t) d t 2 2 =  + 因此上述计算公式相当于“换元法”. x 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果曲线 L的方程为 y=(x)(α≤x≤b),则有, f(x, y)ds = [~f(x, y(x))/1+ y'2(x)dx如果方程为极坐标形式: L:r =r(O)(α≤≤β),则L f(x, y)dsf(r(0)cos0 , r(0)sin0 )/r2(0)+r'2(0) d推广：设空间曲线弧的参数方程为I: x =d(t), y=y(t), z =の(t)(α≤t≤β)则J. f(x,y,z)dsf(p(t),y(t),(t) )/o(t)+tdHIGH EDUCATION PRESS上页返回结束机动目录下页

如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: L :r = r( ) (    ), 则  =   f (r( ) cos , r( )sin ) 推广: 设空间曲线弧的参数方程为  : x = (t), y =(t), z =(t) (  t   ) 则  f (x, y,z)ds (t) (t) (t) d t 2 2 2  + + 1 (x) dx 2 + ( ) ( ) d 2 2 r + r   = b a f (x, (x))  =   f ((t) ,(t),(t) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束