华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 大数定律与中心极限定理 §4.2 特征函数

第1页第四章大数定律与中心极限定理第四章大数定律与中心极限定理$4.1随机变量序列的两种收敛性$4.2特征函数$4.3大数定律$4.4中心极限定理4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第1页 §4.1 随机变量序列的两种收敛性 §4.2 特征函数 §4.3 大数定律 §4.4 中心极限定理 第四章 大数定律与中心极限定理

第2页第四章大数定律与中心极限定理$4.2特征函数特征函数是处理概率论问题的有力工具其作用在于：可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第2页 §4.2 特征函数 特征函数是处理概率论问题的有力工具， 其作用在于： ➢ 可将卷积运算化成乘法运算； ➢ 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算； ➢ 可将求随机变量序列的极限分布化成一般 的函数极限问题； ➢

第3页第四章大数定律与中心极限定理4.2.1特征函数的定义定义4.2.1设X是一随机变量，称注意 i=V-1(t) = E(eitx)是虚数单位(必定存在)为X的特征函数eitx = cos(tx) +isin(tx)[eitx-]4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第3页 4.2.1 特征函数的定义 定义4.2.1 设 X 是一随机变量，称 (t) = E( e itX ) 注意： i = −1 是虚数单位. 𝑒 𝑖𝑡𝑥 = cos( 𝑡𝑥) + 𝑖 sin( 𝑡𝑥) |𝑒 𝑖𝑡𝑥|=1 为 X 的特征函数 (必定存在)

第4页第四章大数定律与中心极限定理注意点(1)eixkpk(1）当X为离散随机变量时，(t)=)k=(2）当X为连续随机变量时(t)=「ep(x)dx这是p(x)的傅里叶变换4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第4页 注 意 点(1) (1) 当X为离散随机变量时， (2) 当X为连续随机变量时， 1 ( ) k itx k k  t e p  = = ( ) ( )d itx  t e p x x + − = 这是 p(x) 的傅里叶变换

第5页第四章大数定律与中心极限定理注意点(2)特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：欧拉公式：1eitx =cos(tx)+isin(tx)复数的共轭：a+bi=a-bi2复数的模a+bil=Va?+b2(3)4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第5页 特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： 注 意 点(2) (1) 欧拉公式： cos( ) sin( ) itx e tx i tx = + (2) 复数的共轭： a bi a bi + = − (3) 复数的模： 2 2 a bi a b + = +

第6页第四章大数定律与中心极限定理常见分布的特征函数（离散型）(t) = eita单点（退化）分布β(t) = peit+q两点（0-1）分布p(t) = e^(eit-1)泊松分布4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第6页 常见分布的特征函数(离散型) 单点（退化）分布 两点（0-1）分布 泊松分布 𝝋(𝑡) = 𝑒 𝑖𝑡𝑎 𝝋(𝑡) = 𝑝𝑒 𝑖𝑡+q 𝝋 𝑡 = 𝑒 𝝺(𝑒 𝑖𝑡−1)

第7页第四章大数定律与中心极限定理常见分布的特征函数（连续型）itbpita均匀分布p(t)it(b -a)it指数分布β(t) =(1p(t) =e-号标准正态分布4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第7页 常见分布的特征函数(连续型) 均匀分布 指数分布 标准正态分布 𝝋(𝑡) = 𝑒 𝑖𝑡𝑏 − 𝑒 𝑖𝑡𝑎 𝑖𝑡(𝑏 − 𝑎) 𝝋(𝑡) = 𝑒 − 𝑡 2 2 𝝋 𝑡 = (1 − 𝑖𝑡 𝜆 ) −1

第8页第四章大数定律与中心极限定理4.2.2特征函数的性质[p(t)/ ≤ p(0)=1性质4.2.1p(-t)=p(t)性质4.2.2Pax+6(t)= eiblpx(at)性质4.2.3性质4.2.4若X与Y独立，则Px+r(t)=Px(t)Py(t)p(O)=ikE(Xk)性质4.2.54April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第8页 性质4.2.1 4.2.2 特征函数的性质 |(t)|  (0)=1 性质4.2.2   ( ) ( ) − = t t 性质4.2.3 ( ) ( ) ibt aX b X   t e at + = 性质4.2.4 若 X 与 Y 独立，则 ( ) ( ) ( ) X Y X Y    t t t + = 性质4.2.5 ( )(0) ( ) k k k  =i E X

第9页第四章大数定律与中心极限定理常见分布的特征函数（续）β(t) = (peit+q)n二项分布详细请参考课本p(t) =expliμt -正态分布容第196页it-n伽马分布Ga(n,入）β(t)=（1--表格4.2.1-α伽马分布Ga(α,入)β(t)=（1一2n2βp(t) = (1 -2it)卡方分布x2(n)=Ga，)4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第9页 常见分布的特征函数(续) 二项分布 𝝋(𝑡) = (𝑝𝑒 𝑖𝑡+q) 𝑛 正态分布 𝝋(𝑡) =exp{𝑖𝞵𝑡 − 𝜎 2 𝑡 2 } 伽马分布Ga(n,𝝺) 𝝋 𝑡 = (1 − 𝑖𝑡 𝜆 ) −𝑛 卡方分布𝜒 2 𝑛 = 𝐺𝑎( 𝑛 2 , 1 2 ) 𝝋 𝑡 = (1 − 2𝑖𝑡) − 𝑛 2 伽马分布Ga(α,𝝺) 𝝋 𝑡 = (1 − 𝑖𝑡 𝜆 ) −α 详细请参 考课本 第196页 表格4.2.1

第四章大数定律与中心极限定理第10页特征函数的定理定理4.2.1一致连续性定理4.2.2非负定性定理4.2.3逆转公式定理4.2.4唯一性连续场合，p(x)=e-ip(t)dt定理4.2.52元4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第10页 定理4.2.1 特征函数的定理 一致连续性. 定理4.2.2 定理4.2.3 定理4.2.4 唯一性. 定理4.2.5 非负定性. 逆转公式. 连续场合， 1 ( )d 2 ( ) itx p x e t t   − =  −