华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 大数定律与中心极限定理 §4.1 随机变量序列的两种收敛性

第四章大数定律与中心极限定理 第1页 §4.1随机变量序列的两种收敛性 两种收敛性： )依概率收敛：用于大数定律； )按分布收敛：用于中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第1页 §4.1 随机变量序列的两种收敛性 两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理

第四章大数定律与中心极限定理 第2页 4.3.1依概率收敛 定义41.1（依概率收敛 若对任意的s>0,有limP{lXn-X|<=1 n→+o∞ 则称随机变量序列{X}依概率收敛于X,记为 X-Px 大数定律过论的就是依概率收敛 4 April 2025 华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第2页 4.3.1 依概率收敛 定义4.1.1 (依概率收敛) 𝑋𝑛 𝑃 X 大数定律讨论的就是依概率收敛. lim 𝑛→+∞ 若对任意的 >0，有 𝑃 𝑋𝑛 − 𝑋 < 𝜀 = 1 则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X, 记为

第四章大数定律与中心极限定理 第3页 含义： lim P{Xn-XI<8=1 n-→+0o X,对X的绝对差不小于任一给定量ε的可能性将随着增大而愈来愈小 绝对偏差|Xn-X|小于任一给定量ε的可能性将随着n增大而愈来愈接近1 p{Xn-X|≤e}→1(n→m) 4 April 2025 华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第3页 𝑋𝑛 对 X 的绝对差不小于任一给定量  的可能性将随着n增大而愈来愈小 绝对偏差|𝑋𝑛- X |小于任一给定量  的可能性将随着n增大而愈来愈接近1. p 𝑋𝑛 − 𝑋 < 𝜀 → 1(𝑛 →∞) lim 𝑛→+∞ 𝑃 𝑋𝑛 − 𝑋 < 𝜀 = 1 含义：

第四章大数定律与中心极限定理 第4页 依概率收敛的性质 定理4.11若XmP,a,YnPb 则{X}与{Yn的加、减、乘、除 依概率收敛到a与b的加、减、乘、除 4 April 2025 华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第4页 依概率收敛的性质 定理4.1.1 若 , P X a n ⎯⎯→ P Y b n ⎯⎯→ 则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除

第四章大数定律与中心极限定理 第5页 例4.1.1设随机变量序列{X服从如下的退化分布 Px==1, n=1,2,., 它们的分布函数分别为 在点点收敛这个要求下，{F,(x)的极限函数 0. r0,x≤0， F(x)= g(x)= 1, x>0. 因为F(x)是在点x=二处有跳跃，所以当n一→∞时，跳跃点位置趋于0，于 F(x)= r0, x<0, 是我们很自然地认为{F(x)}应该收敛于点x=0处的退化分布，即 1, x≥0. 但是，对任意的n,有F(0)=0,而F(0)=1,所以 IimF.(0)=0≠1=F(0） 4 April 2025 华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第5页

第四章大数定律与中心极限定理 第6页 4.1.2按分布收敛、弱收敛 对分布函数列{F(x)}而言，点点收敛要求太高 定义4.12若在Fx)的连续点上都有 里Fn(x)=F(x) 则称{F,(x}弱收敛王Fx),记为 Enx)-wF(x) 相应记X,L,X按分布收敛 4 April 2025 华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第6页 4.1.2 按分布收敛、弱收敛 对分布函数列 {Fn (x)}而言，点点收敛要求太高. 定义4.1.2 若在 F(x) 的连续点上都有 lim ( ) ( ) n→+ F x F x n = 则称{Fn (x)} 弱收敛于 F(x) ，记为 ( ) W ( ) n F F x x ⎯⎯→ 相应记 L X X n ⎯⎯→ 按分布收敛

第四章大数定律与中心极限定理 第7页 例4.1.2设随机变量X的分布列为 P(X=-1)=2, P(X=1)=2 令X,=-X,则X。与X同分布，即X,与X有相同的分布函数，故X,人水 但对任意的0<E<2,有 P(|X.-X|≥E)=P(2|X|≥)=140， 即X,不是依概率收敛于X 按分布收敛不一定是依概率收敛 4 April 2025 华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第7页 按分布收敛不一定是依概率收敛

第四章大数定律与中心极限定理 第8页 依概率收敛与按分布收敛的关系 定理4.1.2 XmPX→XmL,X 定理413 XnPa→XnLa 4 April 2025 华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第8页 依概率收敛与按分布收敛的关系 定理4.1.2 P L X X X X n n ⎯⎯→ ⎯⎯→  定理4.1.3 P L X a X a n n ⎯⎯→ ⎯⎯→ 

第四章大数定律与中心极限定理 第9页 4.1.3判断弱收敛的方法 定理42.6 XnL→X台p.0→p(0 W 或者Fx)F(x)台pxn()→px() 特别的：Xn一→a Xn”a 台pxn(t)一→eita 4 April 2025 华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第9页 4.1.3 判断弱收敛的方法 定理4.2.6 ( ) ( ) X X n t t L X X n ⎯⎯→ ⎯⎯→    特别的： 𝑋𝑛 𝐿 𝑎 或者 𝐹𝑛(𝑥) 𝑊 𝐹(𝑥) ⇔ φ𝑋𝑛 (𝑡) φ𝑋(𝑡) ⇔ φ𝑋𝑛 (𝑡) 𝑒 𝑖𝑡𝑎 𝑋𝑛 𝑝 𝑎