华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 随机事件与概率 1.2 概率的定义及其确定方法

第一章随机事件与概率 第1页 §1.2概率的定义及其确定方法 ⑩直观定义一 事件A出现的可能性大小 ⑩统计定义一事件A在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率 ⑩古典定义 ⑩几何定义； ⑩公理化定义 4 April 2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第1页 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率. 古典定义； 几何定义； 公理化定义. §1.2 概率的定义及其确定方法

第一章随机事件与概率 第2页 1.2.3确定概率的频率方法 >随机试验可大量重复进行 >进行次重复试验，记n(4)为事件A的频数， 称(0= n(4) 为事件A的频率 n >频率(4)会稳定于某一常数稳定值)！ >用频率的稳定值作为该事件的概率 4 April 2025

第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第2页 ➢ 随机试验可大量重复进行. 1.2.3 确定概率的频率方法 ➢ 进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， 称 为事件A的频率. ➢ 频率fn (A)会稳定于某一常数(稳定值). ➢ 用频率的稳定值作为该事件的概率

2.性质 设A是随机试验E的任一事件，则 (1)0≤fn(A)≤1； (2)fn(S)=1,fn(0)=0; (3)若事件A1,A2,·,Ak两两互不相容，则 fn(A1UA2U.Ak)=fn(A1)+fn(A2)+.+fn(Ak) www.nipic.com

2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 (1) 0  f (A)  1; n

实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做 7遍，观察正面出现的次数及频率. 试验 n=5 n=50 n=500 序号 na nd na 1 2 22 0.44 251 0.502 2 0.498 3 随n的增大，频率f呈现出稳定性 2J0 0.512 4 5 .50 247 0.494 5 1 在处波动较小→ .48 251 0.502 6 2 0.4 18 0 波动最小 524 7 4 0.8 27 0. 1516 www.nipic.com

试验 序号 n = 5 nH f 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 nH f n = 50 22 25 21 25 24 18 27 nH n = 500 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 f 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 在 处波动较大 2 1 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 在 处波动较小 2 1 波动最小

从上述数据可得 ()频率有随机波动性，即对于同样的n,所得的 f不一定相同； (2)抛硬币次数n较小时，频率f的随机波动幅 度较大，但随n的增大，频率f呈现出稳定性.即 当n逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动，且 逐渐稳定于0.5. m样www.nipic.com

从上述数据可得 (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;

实验者 n na f 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 K·皮尔逊 12000 6019 0.5016 K·皮尔逊 24000 12012 0.5005 f(H) n的增大1 2 8 www.nipic.com

实验者 德 摩根 蒲 丰 n nH f K 皮尔逊 K 皮尔逊  2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 f ( H ) n的增大 . 21

我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验. 试验模型： 自上端放入一小球，任其自由下落， 在下落过程中当小球碰到钉子时，从左 边落下与从右边落下的机会相等碰到 下一排钉子时又是如此最后落入底板 中的某一格子 因此，任意放入一球，则此球落入 高尔頓板 哪一个格子，预先难以确定， 但是如果放入大量小球，则每个格子的小 球数会呈现某种不变的规律吗 www.nipie.com

我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验. 试验模型: 自上端放入一小球,任其自由下落, 在下落过程中当小球碰到钉子时,从左 边落下与从右边落下的机会相等.碰到 下一排钉子时又是如此.最后落入底板 中的某一格子. 但是如果放入大量小球,则每个格子的小 球数会呈现某种不变的规律吗 因此,任意放入一球,则此球落入 哪一个格子,预先难以确定. ？

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小球个数 6000 规律 1、不同格子里小球的频数不同，两边的少； 2、越靠近中间格子里的小球数越多； 3、10间格子里落入小球的频率就呈现了中间高 ,两边依次变低的趋势. www.nipic.com

2、越靠近中间格子里的小球数越多； 1、不同格子里小球的频数不同，两边的少； 3、10间格子里落入小球的频率就呈现了中间高 ，两边依次变低的趋势. 规 律 ？

1 结论 当n较小时频率波动幅度比较大，当n逐渐增 大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的 概率. www.nipic.com

结论 当 n 较小时频率波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率．