《数学分析》课程教学课件（讲稿）N-L公式

§2牛顿一莱布尼茨公式 显然，按定义计算定积分非常困难， 须寻找新的途径计算定积分.在本节中， 介绍牛顿一莱布尼茨公式，从而建立了 定积分与不定积分之间的联系，大大简 化了定积分的计算， 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 显然, 按定义计算定积分非常困难, §2 牛顿－莱布尼茨公式 须寻找新的途径计算定积分. 在本节中, 介绍牛顿－莱布尼茨公式, 从而建立了 定积分与不定积分之间的联系, 大大简 化了定积分的计算. 返回

若质点以速度v=v(①作变速直线运动，由定积分 定义，质点从时该到b所经过的路程为s=」)d, 另一方面，质点从某时刻a到时刻b所经过的路 程记为s(b)-s(o,则s'（(t)=vt)于是 s=∫(t)dt=sb)-s(a. 注意到路程函数s)是速度函数yt)的原函数， 因此把定积分与不定积分联系起来了，这就是下 面的牛顿一莱布尼茨公式。 前 返回

前页 后页 返回 若质点以速度 v = v (t) 作变速直线运动,由定积分 ( )d ( ) ( ). b a s v t t s b s a = = −  注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数, ( )d b a s v t t = 定义  ,质点从时该a到b所经过的路程为 . 另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路 程记为 s(b)- s(a), 则 s t v t ( ) ( ), = 于是 因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下 面的牛顿—莱布尼茨公式

定理9.1（牛顿一莱布尼茨公式） 函数f在a,b]上满足条件： (①f在[a,b]上连续， (Df在[，b上有原函数F, 则 (I)f在[a,b1上可积； (2)Jf(x)dx=F(x)=F(b)-F(a). 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 定理9.1 (牛顿—莱布尼茨公式) 函数 f 在 [a, b] 上满足条件: (i) f 在 [a, b] 上连续, (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F, 则 (1) f 在 [a, b] 上可积; (2) f (x)dx F(x) F(b) F(a). b a b a = = − 

证因f在[a,b]上一致连续，则Hε>0,36>0， 当x',x"∈[a,b],x'-x"k6时， If(x)-f(x")<s. 任取5：∈x-1,xl,i=1,2,.,n.又F在K1, 上满足拉格朗日中值定理条件，3n,∈x-,x】, F(x)-F(x;)=F'(n)△x;=f(7)△x, 于是 前页 后页 返回

前页 后页 返回 证 因 f 在 [a, b] 上一致连续, 则       0, 0, 当 x x a b x x     , [ , ], | | ,  −   时 | f (x) − f (x)|  . 任取  i i i  = [ , ], 1,2, , . x x i n −1 又 F 在 [ , ] i 1 i x x − 上满足拉格朗日中值定理条件, [ , ], i  xi−1 xi ( ) ( ) ( ) ( ) , i i 1 i i i xi F x − F x − = F   x = f   于是

(,-(F(b)-F(a) 2f-2(Fx,)-Fx) 空a-含m ≤f5)-f,川ys2sAy=&b-a, 因此，∫fx)dr=Fb)-F(a=Fx). 前页

前页 后页 返回 1 ( )Δ ( ( ) ( )) n i i i f x F b F a  =  − − , ( )d ( ) ( ) ( ) . b b a a f x x F b F a F x = − = 因此  1 1 1 ( )Δ ( ( ) ( )) n n i i i i i i f x F x F x  − = = = − −   1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i f x f x   = = = −   1 1 | ( ) ( ) | Δ Δ ( ). n n i i i i i i f f x x b a     = =  −  = −  

注1以后将证明，若f在[a,b]上连续，则f在[，b] 上必有原函数Fx).因此条件（是多余的. 注2条件()不是必要条件，以后将举例说明，存在 函数f在[a,b]上有间断点，但f在，b]上仍可 积. 例2求jr 解 n+1n+1 前页 返回

前页 后页 返回 注1 以后将证明, 若 f 在 [a, b]上连续, 则 f 在 [a, b] 注2 条件 (i)不是必要条件, 以后将举例说明, 存在 例2 d . b n a x x 求  解 ( ). 1 1 1 d 1 1 1 + + + − + = + =  n n b a n b a n b a n n x x x 上必有原函数 F (x). 因此条件 (ii) 是多余的. 函 数 f 在 [a, b] 上有间断点, 但 f 在 [a, b]上仍可 积

例3求日 dx 1-x2 解 6 0 6 例4求∫x4-x2dc. 解 -rw49 用牛顿一莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限. 前页 返回

前页 后页 返回 例3 . 1 d 2 1 0 2 − x x 求 解 1 1 2 2 0 0 2 d π π arcsin 0 . 1 6 6 x x x = = − = −  例4 4 d . 2 0 2  求 x − x x 解 . 3 8 (4 ) 3 1 4 d 2 0 2 3 2 2 0 2 − = − − =  x x x x 用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限

例5求im 夕11 n-→ i n i11+ n 解易见lim1是函数f(d=,L 在0， n-→oo i n i-11+ 1+x n 上黎曼和的极限.其中分割和介点分别为 T:0<<<"<l, -ie-1,=12 5:=∈l 前页 返回

前页 后页 返回 例5 . 1 1 1 lim 1 = → + n i n n n i 求 解 1 1 1 lim 1 n n i i n n → = + 易见 是函数  1 ( ) [0, 1] 1 f x x = + 在 1 1 : 0 1, n n T n n −     上黎曼和的极限.其中分割和介点分别为 1 [ , ], 1, 2, , . i i i i i n n n n  − =  =

因此1im21,1 i n n-→°ie11十 J01+x n =ln(1+x)=ln2. 创6果mnn+房-3月 解令a=man+子-u2j -2n1 前页 后页 返回

前页 后页 返回 因此 1 0 1 1 1 1 lim d 1 1 n n i x i n x n → = = + +   例6 ) (1 ) . 2 )(1 1 lim (1 1 n n n n n n       + + + → 求  解 令 1 1 2 ln (1 )(1 ) (1 ) n n n a n n n   = + + +     1 0 = + = ln(1 ) ln2. x 1 1 ln 1 , n i i n n = = + 

则 im=n(+xdx n->oo =(1+x)n(1+x)-(x+1。 =2ln2-1. 因此 a+月-1”j =ema=e221-4 前页 后页 返回

前页 后页 返回 1 0 lim ln(1 )d n n a x x → = +  因此 1 1 2 lim (1 )(1 ) (1 ) n n n → n n n   + + +     则 1 0 = + + − + [(1 )ln(1 ) ( 1)] x x x = − 2ln2 1. lim e n n a → = 2ln 2 1 4 e . e − = =