《数学分析》课程教学课件（讲稿）级数的收敛性

§1级数的收敛性 级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具.级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §1 级数的收敛性 级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具. 级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用

对于有限个实数uvu2,un相加后还是一个实数， 这是在中学就知道的结果，那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子.如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万 世不竭”的例中，将每天截下那一部分的长度“加” 起来是： 11 ,1 2+2 前页 后页 返回

前页 后页 返回 对于有限个实数 u1,u2,.,un 相加后还是一个实数， 这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是: + + + + + 2 3 1 1 1 1 , 2 2 2 2n

由于前”项相加的和是1- 可以推测这“无限 个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数 相加”的表达式 1+(-1)+1+(-1)+. 中，如果将其写作 (1-1)+(1-1)+(1-1)+.=0+0+0+., 结果肯定是0，而写作 1+[(-1)+1]+[(-1)+1山+.=1+0+0+0+.， 前页 返

前页 后页 返回 由于前 n 项相加的和是 1 1 2 n − ，可以推测这“无限 个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数 相加”的表达式 1 ( 1) 1 ( 1) + − + + − + 中，如果将其写作 (1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 , − + − + − + = + + + 结果肯定是0，而写作 1 [( 1) 1] [( 1) 1] 1 0 0 0 , + − + + − + + = + + + +

则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题：“无限个数相加”是否存在“和”；如果存在， “和”等于什么？由此可见，“无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比，需要建立新 的理论 定义1给定一个数列{u,将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式 儿1+W2+.+Wn+ (1) 前页 返回

前页 后页 返回 则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”;如果存在, “和”等于什么? 由此可见, “无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新 的理论. 定义1 给定一个数列{un }, 将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式 1 2 + + + + (1) u u un

称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中m 称为数项级数(1)的通项或一般项.数项级数(1)也 常记为∑4，.在不致误解时可简记为∑， n=1 数项级数(1)的前n项之和记为 S=2=4+,++4 (2) 称为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和. 定义2若数项级数(1)的部分和数列{S,n}收敛于S 前页 返回

前页 后页 返回 称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也  =  1 n n u . 常记为 . 在不致误解时可简记为 un 数项级数(1)的前n项之和记为 = = = + + +  1 2 1 , (2) n n k n k S u u u u 称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和. 定义2 若数项级数(1)的部分和数列 { } Sn 收敛于 S

(即imn=S),则称数项级数()收敛，S称为数 项级数()的和，记作 S=4,+4,+.+4n+.,或S=∑4 n=1 若{Sn}是发散数列，则称数项级数(1)发散， 例1讨论等比级数（也称几何级数） a+q+g2+.+aq”+. (3) 的收敛性(0). 前页 返回

前页 后页 返回 → lim n = n (即 S S ), 则称数项级数(1)收敛, S 称为数 项级数(1)的和,记作 1 2 1 , . n n n S u u u S u  = = + + + + = 或  例1 讨论等比级数(也称几何级数) + + + + + 2 (3) n a aq aq aq 的收敛性(a≠0). 若 { } Sn 是发散数列,则称数项级数(1)发散

解q≠1时，级数(3)的第n个部分和为 S.=ataq+.+aq-a.I-g 1-q 因此 ()当lg1时，lim S=oo,此时级数(3)发散. 前页 返回

前页 后页 返回 解 q≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为 1 1 . 1 n n n q S a aq aq a q − − = + + + =  − 因此 1 (i) 1 , lim lim . 1 1 n n n n q a q S a → → q q −  =  = − − 当 时 此时级 数(3)收敛,其和为 − . 1 a q → (ii) 1 , lim , (3) .  =  n n 当 时 此时级数 发散 q S

(i)当q=1时，Sn=na,级数发散.当q=-1时， S2=0,S2k41=a,k=0,1,2,.,级数发散. 综合起来得到：q<1时，级数(3)收敛；q≥1时，级 数(3)发散. 例2讨论数项级数 11 1.223 +.1 (4) n(n+1) 的收敛性。 解级数(4)的第n个部分和为 前页 后页 返回

前页 后页 返回 (iii) 1 , , . = = n 当 时 级数发散 q S na 当 时 q = −1 , 2 = 0, S k 2 1 , 0,1,2, , . S a k k+ = = 级数发散 综合起来得到: q  1 , (3) ; 时 级数 收敛 q  1 , 时 级 数(3)发散. 例2 讨论数项级数 + + + +   + 1 1 1 (4) 1 2 2 3 ( 1) n n 的收敛性. 解 级数(4)的第n个部分和为

t2t+1 S= 1223'n(n+1) -12)23 1- n+1 由于 s.m1-4山 因此级数(4)收敛，且其和为1. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 1 1 1 12 23 ( 1) Sn n n = + + +   +       = − + − + + −             − 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 n n = − + 1 1 . n 1 → →   = − =     + 1 lim lim 1 1, 1 n n n S n 由于 因此级数 (4) 收敛,且其和为1

注由于级数)的收敛或发散（简称敛散性），是由它 的部分和数列{S}来确定，因而也可把级数(1)作为 数列{S}的另一种表现形式.反之，任给一个数列 {an},如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则 这个数项级数就是 24,=4+a-4)+a4++a,a+肉 这时数列{an}与级数（⑤）具有相同的敛散性，且当 {an}收敛时，其极限值就是级数（⑤）的和. 前页 返回

前页 后页 返回 注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它 的部分和数列 { } Sn 来确定, 因而也可把级数(1)作为 数列 { } Sn 的另一种表现形式. 反之, 任给一个数列 { }n a , 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则 这个数项级数就是  − =  = + − + − + + − + 1 2 1 3 2 1 1 ( ) ( ) ( ) . (5) n n n n u a a a a a a a { } 这时数列 an 与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当 { } an 收敛时,其极限值就是级数(5)的和