《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分求旋转曲面面积

$4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题，都可按“分 割、近似、求极限”三个步骤导出所求 量的积分形式，但在实际应用中又常用 “微元法”来处理.本节将介绍微元法，并 用以导出旋转曲面面积的计算公式 一、微元法 二、旋转曲面的面积 前页 了[

前页 后页 返回 §4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题, 都可按 “分 一、微元法 二、旋转曲面的面积 用以导出旋转曲面面积的计算公式. “微元法”来处理. 本节将介绍微元法,并 量的积分形式, 但在实际应用中又常用 割、近似、求极限” 三个步骤导出所求 返回

一、微元法 当f为[a,b]上的连续函数时，若令 F(x)=f(D)di, 则Fx)=fx),或dF=f(x)dk,且 F(a)=0,F(b)=f(x)dx. 现在恰好要把问题倒过来：若所求量℉是分布在区 间[a,x]上的(a￡x￡b),或者说它是该区间的端点 x的函数，即 前

前页 后页 返回 则 , 且 当 上的连续函数时，若令 一、微元法 现在恰好要把问题倒过来: 若所求量 是分布在区 或者说它是该区间的端点 x 的函数, 即

F=-F(x),x1[a,b], 而且当x=b时，F(b)适为最终所求的值 在任意小区间x,x+△y1[a,b上，若能把F的 微小增量△F近似表示为△x的线性形式 △F》f(x)△x, 其中f为某一连续函数，而且当Dx®0时， AF-f(x)△x=o(△x), 那么只要把Of(x)dx计算出来，就是该问题所

前页 后页 返回 其中 f 为某一连续函数, 而且当 时, 而且当 x = b 时, 适为最终所求的值. 那么只要把 计算出来, 就是该问题所 在任意小区间 上, 若能把 的 微小增量 近似表示为 的线性形式

求的结果 以上方法通常称为微元法，在用微元法时，应注意 1)所求量F关于分布区间必须是可加的. (2)微元法的关键是正确给出△F的近似表达式 △F》f(x)△x. 在一般情况下，要严格检验 △F-f(x)△x 为Dx的高阶无穷小量不是一件容易的事 前门

前页 后页 返回 在一般情况下, 要严格检验 以上方法通常称为微元法, 在用微元法时, 应注意 : 求的结果. (2) 微元法的关键是正确给出 的近似表达式 为 的高阶无穷小量不是一件容易的事. (1) 所求量 关于分布区间必须是可加的

二、旋转曲面的面积 设平面光滑曲线C的方程为 y=f(x),xI[a,b](f(x)30), 这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面（如下图）： y=f(x) +DX 通过x轴上点x与x+△x分别作垂直于x轴的平

前页 后页 返回 这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面(如下图). 设平面光滑曲线 C 的方程为 二、 旋转曲面的面积 通过 x 轴上点 x 与 分别作垂直于 x 轴的平

面，它们在旋转曲面上截下一条狭带.当x很小 时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即 AS》πf(x)+f(x+△r)NAx2+△y Dr(Dx 其中△y=f(x+x)-f(x).由于 0=0m1+2-0. Dx®0 前页

前页 后页 返回 其中 由于 时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积, 即 面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带. 当 很小

因此由∫x)的连续性可以保证 Pw器.ae1+a EAro =0(△x), 所以得到 ds-2nf(x)v1+fe(x)dx, S=2π0f(V1+f(xde. 如果光滑曲线由参数方程

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x=x(t),y=y(t),tI [a,b] 给出，且y(t)30,则曲线C绕x轴旋转所得旋转 曲面的面积为 S=2pò()Nx20)+u)dn: 例1求将椭圆 6=1a>)绕x轴旋转所得 椭球面的面积 解将上半椭圆写成参数方程 前

前页 后页 返回 给出, 且 则曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转 曲面的面积为 例1 求将椭圆 绕 x 轴旋转所得 椭球面的面积. 解 将上半椭圆写成参数方程

x=acost,y=bsint,0￡t￡π. 令c2=a2-b2,e=c,则 S=2π0bsin1Na2sin21+b2cos'td证 =4nbsintya2-(a2-B2)cos'idr =-4b a-c"cos"id(cost) -4nab1-e'u'du

前页 后页 返回 令

1 =4πab ael arcsin eu 2e 0 2πab aeb a = +arcsin ěac ag ae a2 Va2-b26 =2πbcb+ arcsin 8a2.b 0 特别当a=b时，即半径为a的球面的面积： S-Azasinid-4xa'cost-4xa' 前页

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