《数学分析》课程教学课件（讲稿）瑕积分的性质与收敛判别

§3瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质与收敛判别，与无穷积 分的性质与收敛判别相类似.因此本节 内容大都是罗列出一些基本结论，并举 例加以应用，而不再进行重复论证. 前

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定理11.7（瑕积分收敛的柯西准则） 瑕积分òf(x)dxr(瑕点为a)收敛的充要条件是 任给e>0,存在d>0,当4,42i(a,a+d)时 dxdsds 0,$d>0, "4,2i(a,a+d)F(u)-F(u2)e, 前顶

前页 后页 返回 定理11.7 （瑕积分收敛的柯西准则） 证 柯西准则，此等价于

即 dx-)dxf()de. 性质1设函数f与f的瑕点同为x=a,k1,k, 为任意常数，若Of(x)dr和Of(v)dr都收敛，则 0(k1f(x)+k2f()dr也收敛，且 (ki(x)+k(x))dx k)dx+k()dx. 性质2设函数f的瑕点x=a,若ci(a,b),则 Of(x)dr与Of(x)dx同时收敛或同时发散，且

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()dx-fdxf()dx. 性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b的任一 闭区间[u,b](u>a)上可积，则òf(r)dr收敛时， 0fw)ir也收敛，且6 fd6de。 定理11.8非负函数瑕积分的判别法) 若定义在(a,b]上的非负函数f(x),在任意闭区间 [u,b1(u>a)上可积，则Of(c)dr收敛的充要条件

前页 后页 返回 性质3 定理11.8 (非负函数瑕积分的判别法)

是：存在M,对任意ui(a,b, f()d<M. 定理11.9（比较法则） 设定义在(a,b小上的两个非负函数f与8，瑕点同 为x=a,在任何[u,bi(a,b上都可积，且满足 f(x)fg(x),xI (a,bl. 则当0g(c)dx收敛时，òf(x)dr必定收敛； 0f(x)dr发散时，0g()dx必定发散， 前

前页 后页 返回 定理11.9 (比较法则)

推论1若非负函数f和g在任何[u,b](a<u<b) 上可积，且imf代-c,则 x®a+g(x) ()0<c<+Y时，Ofx)dr与Og(x)dr收敛性相同： (c=0时0g(x)dr收敛可推得Of(x)dr收敛： (i曲)c=+半时Of(r)dr发散可推得Og(e)dr发散

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推论2设非负函数f定义在(a,b上，a为瑕点，且 在任何[u,bi（a,b]上可积.则有 当ftxa0pe1时灿收敛： 当f产0p1时6f时发敬

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推论3设非负函数f定义于(a,b],a为瑕点，且在任 何u,bi(a,b1上可积.若im(c-a)'f(x)=l,则 ()当0<p<1,0El≤+￥时，Of(x)dr收敛； (当p31,0<1￡￥时，0f(x)dr发散 利用x~sin~tanx~arcsinx~arctanx ~ln(1+x)~e'-1(x®0)， 可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性

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例1判别瑕积分016x 、2sinx d的收敛性。 解瑕点为x=1, sinx 1 sin x x3.1lnx(x-1)3(x2+x+1)3n(1+x-1) 由于 sinx 2++D®10(cR)而 3 1 1 (x-1)31n(1+x-1)(x-1)(x-1)(x-1)3, 前页

前页 后页 返回 例1 由于

2 dx 2 sinx dx发散， 因此由Q.3安散知⊙1nS 例2判别瑕积分。d的收致裡 解x=0是瑕点，-lnx30(xi(0,1)由于 lim x3/4 =-lim x4Inx=0, x®0 x®0 因此由推论知心收敛，即0产4：收敛

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