《数学分析》课程教学课件（讲稿）以2l为周期的函数的展开式

§2以21为周期的函数的展开式 上节讨论了以2口为周期，或定义在(-元，] 上然后作2日周期延拓的函数的傅里叶展开式， 本节讨论更有一般性的以2！为周期的函数的 傅里叶展开式，以及偶函数和奇函数的傅里 叶展开式， 一、以21为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇递数的傅里叶级数 前预

前页 后页 返回 §2 以 2l 为周期的函数的展开式 上节讨论了以 2￾ 为周期, 或定义在 上然后作2￾ 周期延拓的函数的傅里叶展开式, 本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的 傅里叶展开式, 以及偶函数和奇函数的傅里 叶展开式. 返回 一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数

一、以2为周期的函数的傅里叶级数 设f是以2l为周期的函数，通过变量替换： 1或x= 就可以将f变换成以2π为周期的关于变量t的函数 F0)=fr0若f在，小业可织，则F在-元，利 .2ltǒ ě元 业也可织，返时函数F的傅里叶级数展牙式是： F(x): (a cosnx+bsinnx), (1) 2 n=1 前过

前页 后页 返回 一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 设 f 是以 2l 为周期的函数, 通过变量替换: 若 在 上可积, 则 在 上也可积, 这时函数 F 的傅里叶级数展开式是: 就可以将 f 变换成以 为周期的关于变量 t 的函数

其中 1 (t)cosntdt,n=1,2,L, π 元 (2) 1 a。-元0.Fo)si，n=l,2L 国为1= 所m/8子直 (2)式分别得 f(x): .n元x (3) n=1

前页 后页 返回 其中 (2) 因为 , 所以 于是由(1)与 (2)式分别得

与 eos ds,1. (4) 6,0,rsn, n=1,2,3,L. 这里(4)式是以2l为周期的函数f的傅里叶系数，(3) 式是f的傅里叶级数， 若函散f在【，小上按段光滑，则同样可由收做定理 知道

前页 后页 返回 与 这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数, (3) 式是 f 的傅里叶级数. 若函数 f 在 上按段光滑, 则同样可由收敛定理 知道

f(x+0)+f(x-0) 2 (5) 2 n=I 例1将函数 f(x)=j 0,-5￡x<0, 3, 0￡x<5 展开成傅里叶级数。 解由于f在(-5,5]上按段光滑，因此可以展开成傅

前页 后页 返回 例1 将函数 展开成傅里叶级数

里叶级数.根据(4)式，有 1.0 1 5 nx dx 5 -3x5 sin "x 5nπ 0a=2, 5 a,-50.fdk{03aw=3, 1 5 by= 5 前页

前页 后页 返回 里叶级数.根据 (4) 式,有

15 3é5 n元x 58 nn cos =3(1-c0sn) 5 to n元 6 =(2k)元’n=2k-1,k=1,2L, 0, n=2k,2k=1,2,L. 代入（⑤）式，得 3￥ f(x)=a 6 :(2k-1)x sin- A1(2k-1)元 2 5 -sin- -sin 2元 3 55 5 0 前页 返回

前页 后页 返回 代入(5)式, 得

返里x1（-5,0)U(0,5).当x=0和士5时级数收做于 3 2 前页 后页

前页 后页 返回 这里 当 和±5 时级数收敛于

二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 设f是以21为周期的偶函数，或是定义在[-1，小上 的偶函数，则在[-1，小上，f(x)c0snx是偶函数， f(x)sin nx是奇函散.因此，f的傳里叶系散(4)是 ()cos ds 近 i =子8fx)cw"空d,n=01,2L (6) f)sin dx. 前门

前页 后页 返回 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 的偶函数, 则在 上, 是偶函数, 是奇函数. 因此, f 的傅里叶系数(4)是 设 f 是以 2l 为周期的偶函数, 或是定义在 上

于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即 f(): +aa cos n元X (7) 2 n=1 其中如（⑥）式所示()式右边的级数称为余弦级数， 同理，若f是以21为周期的奇函数，或是定义在 [-1,]上的奇函数，类似可推得 f(w)eosdx0.1.2 i (8) 6,=fsn”a、n=12L b

前页 后页 返回 于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项, 即 其中如 (6) 式所示 (7) 式右边的级数称为余弦级数. 同理, 若 f 是以 2l 为周期的奇函数, 或是定义在 上的奇函数, 类似可推得