《数学分析》课程教学课件（讲稿）无穷限反常积分的性质与判敛法则

§2无穷积分的性质及收敛判别 本节讨论无穷积分的性质，并用这些 性质得到无穷积分的收敛判别法. 一、无穷积分的性质 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般函数无穷积分的收敛判别法 前页 后

前页 后页 返回 §2 无穷积分的性质及收敛判别 一、无穷积分的性质 本节讨论无穷积分的性质, 并用这些 性质得到无穷积分的收敛判别法. 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般函数无穷积分的收敛判别法 返回

一、无穷积分的性质 定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分 O,f(x)dr收敛的充要条件是："e>0,SG3a, 当41,42>G时， d-òfx)ds-f()dx, 证设F(u）=Of(x)dr,ui[a,+￥)，则òf(x)dr 收敛的充要条件是存在极限limF(w).由函数 极限的柯西准则，此等价于 前①

前页 后页 返回 收敛的充要条件是: 一、无穷积分的性质 证 极限的柯西准则,此等价于 定理11.1 (无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分

"e>0,$G>a,"4,42>G,F(4)-F(u)<e, 即 f()dsf()df()dse. 根据反常积分定义，容易导出以下性质1和性质2. 性质1若ò。f(e)dr与O,f()dr都收敛，k,k, 为任意常数，则 ò，(kfx)+k,f(x) 也收敛，且

前页 后页 返回 性质1 为任意常数,则 即 根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2

ò，(kf()+k,f()d ki0()dx+k2(x)dx. 性质2若f在任何有限区间[a,d上可积，则 ò，fx)dr与O,f(ydr("b>a), 同时收敛或同时发散，且 f(x)dx-of(x)dx f(x)dx. 前

前页 后页 返回 性质2

例1若f(x)￡h(x)￡g(x),xi[a,+￥)，f(c),g(s), hx)在任意[a,W上可积，且 òf(a)de和O,g)dr 都收敛，则Oh(x)dr收敛， 证因为 O,fx)dr和òg(x)dr 收敛，由柯西准则的必要性， "e>0,SG>a,"41>u2>G

前页 后页 返回 h(x) 在任意 [a, u]上可积, 且 证 因为 收敛,由柯西准则的必要性, 例1 若 , f (x), g (x)

f)dse,)dr<e, 又因为f(x)Eh(x)￡g(x),所以 -e≤0 ()d,xdr￡0gdx<e, 即 )dxe. 再由柯西准则的充分性，证得Oh(x)dr收敛

前页 后页 返回 再由柯西准则的充分性

二、非负函数无穷积分的收敛判别法 定理11.2（非负函数无穷积分的判别法）设定义在 [a,+￥)上的非负函数f在任何[a,上可积，则 Ofr)dr收敛的充要条件是SM>0,使 "uila),f()dxE M. 证设F(w=Of(x)dx,则Of(x)dr收敛的充要 条件是imF(ω存在.由于f(x)30,当41<2时 f()dxf()dx-f()dx0 前

前页 后页 返回 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在 上的非负函数 f 在任何 收敛的充要条件是 : 证 设

从而F是单调递增的(ul[a,+Y).由单调递 增函数的收敛判别准则，limF(w)存在的充要条 uR+￥ 件是F(u)在Ia,￥)上有界，即$M>0,使 "uia,￥)，有f()dxE M. 定理11.3（比较判别法）设定义在[a,+￥)上的两个 非负函数f,9在任何有限区间[4，]上可积，且 存在G>a,满足 f(x)Eg(x),xI[G,+￥)， 前

前页 后页 返回 非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且 定理11.3 (比较判别法) 设定义在 上的两个 增函数的收敛判别准则, 从而 F (u) 是单调递增的 由单调递 存在 满足

则当Og(x)dr收敛时，òf(x)dr亦收敛； 当ò，f(c)dr发散时，0g(x)dr亦发散. 证若Og(c)dx收敛，则$M>0,”ui[a,+半)， à&r)dr￡M. 因此Of(x)dr￡Og(x)dr￡M. 由非负函数无穷积分的判别法，òf(x)dr收敛. 第二个结论是第一个结论的逆否命题，因此也成立

前页 后页 返回 证 由非负函数无穷积分的判别法, 第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立

例2判别ò，x+ +￥dx 的收敛性 解显然 c+i·由于0收敛，因此 +Y dx 十￥ dx 收敛. x6+1 例3设fx),gc)是[a,+￥)上的非负连续函数. 明若fd和dg(n收敛，则 Of(x)g(x)dr收敛 前页

前页 后页 返回 例2 判别 的收敛性. 解 显然 设 f (x), g(x) 是 上的非负连续函数. 证 例3