《数学分析》课程教学资源（教案讲义）不定积分

Ch8不定积分（16时) §1概念基本公式初等化简求积分（2时) 引入：微分问题的反问题，运算的反运算 一.不定积分的定义： 1,原函数： 例1填空：( y=+ )'=-2cosx )=x2; d )=e*-sin x;d( ）=xdk: )'arctgx. =arctgx. 定义.注意f(x)是∫'(x)的一个原函数 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法 原函数的个数 Th若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则对Vc一Const,F(x)+c都是 f(x)在区间I上的原函数：若G(x)也是f(x)在区间I上的原函数，则必有 G(x)=F(x)+c.(证) 可见，若f(x)有原函数F(x),则f(x)的全体原函数所成集合为 (F(x)+cIc∈R. 原函数的存在性：连续函数必有原函数.（下章给出证明） 可见，初等函数在其定义域内有原函数，若∫(x)在区间I上有原函数，则f(x) 在区间I上有介值性。 85

85 Ch 8 不定积分 （ 16 时 ） §1 概念 基本公式 初等化简求积分（ 2 时 ） 引入： 微分问题的反问题，运算的反运算. 一. 不定积分的定义: 1． 原函数： 例 1 填空: 2 1 1 ( ) + x  = ; ( ) = −2cos x ; 2 ( ) x dx d = ; e x dx d x ( ) = − sin ; d( ) = xdx ; ( ) = arctgx .       − ln(1+ )] = . 2 1 [ 2 xarctgx x arctgx 定义. 注意 f (x) 是 f (x) 的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法. 原函数的个数: Th 若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数, 则对 c— Const， F(x) + c 都是 f (x) 在区间 I 上的原函数；若 G(x) 也是 f (x) 在区间 I 上的原函数， 则必有 G(x) = F(x) + c . ( 证 ) 可见，若 f (x) 有原函数 F(x) ，则 f (x) 的全体原函数所成集合为 { F(x) + c │ c Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ). 可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若 f (x) 在区间 I 上有原函数, 则 f (x) 在区间 I 上有介值性

例2已知F(x)为f(x)=2x的一个原函数，F(2)=5.求F(x) 2.不定积分一原函数族：：定义，不定积分的记法，几何意义 制3产=arex+c：j写+c 3.不定积分的基本性质：以下设f(x)和g(x)有原函数 四（[f(x)d)=f(x),d[f(x)=f(x)d.(先积后导，形式不变)】 (2∫f"(x)=f(x)+c,「df(x)=f(x)+c.(先导后积多个常数) 3)a≠0时，「cd(x)dk=a[f(x). ④「(f(x)±g(x)k=「f(x)±「g(x)d 由3)、(4)可见，不定积分是线性运算，即对廿α，B∈R,有 (af(x)+Bg(x))dx=a[f(x)dx+B[g(x)dx. (当α=B=0时，上式右端应理解为任意常数.) 例42x-=x+x+c.求/).(/0)2). 二.不定积分基本公式：基本积分表[1P240-242公式1一-14. s意 三.利用初等化简计算不定积分：参阅4P181 例6P(x)=ax”+a,x"-+.+an-x+an求∫P(x)k 86

86 例2 已知 F(x) 为 f (x) = 2x 的一个原函数, F(2) =5 . 求 F(x). 2. 不定积分—— 原函数族：: 定义, 不定积分的记法, 几何意义. 例 3  = + + arctgx c x dx 2 1 ;  x dx = x + c 2 3 3 1 . 3. 不定积分的基本性质: 以下设 f (x) 和 g(x) 有原函数. ⑴ ( )   = =  f (x)dx f (x), d f (x)dx f (x)dx . (先积后导, 形式不变). ⑵   f (x)dx = f (x) + c, df (x) = f (x) + c . (先导后积, 多个常数) ⑶   0 时，   f (x)dx =  f (x)dx. ⑷    ( f (x)  g(x))dx = f (x)dx  g(x)dx. 由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对  ,  R , 有    (f (x) + g(x))dx =  f (x)dx +  g(x)dx. ( 当  =  = 0 时,上式右端应理解为任意常数. ) 例 4  f x − dx = x + x + c 3 3 1 (2 1) . 求 f (1) . ( f (1) =2 ). 二. 不定积分基本公式: 基本积分表. [1]P240—242 公式 1—14. 例 5  3. x x dx . 三．利用初等化简计算不定积分: 参阅[4]P181. 例 6 n n n n P x = a x + a x + + a − x + a − 1 1 0 1 ( )  . 求  P(x)dx . 例 7         + = − + + + ) . 1 2 ( 1 1 1 2 2 2 4 dx x dx x x x

州德 ,4 例10()「10-10)2d;(2)「22-e3dk Ⅱ 八-2sn=】 sin2x 例2∫os0sm20 de Ex[1]P2442,3,4(1)-00: [4P247-2541-3,5,6,72(1)-(58(9) §2换元积分法与分部积分法(10时) 一.第一类换元法—凑微法： dsin5 2x=5sin 2xdsin 2x =5sin 2x(sin 2x)'dx =10sin2xcos2xdx, 10sin2xcos2xdx=5 sin 2x(sin 2x)'dx =5 sin*2xdsin 2x 5fu'du=+c=sin 2x+c. 引出凑微公式 Th若[f(x)dk=F(x)+C,(x)连续可导，则 JfL()]p')d=FL(】+c 该定理即为：若函数g()能分解为 g(t)）=f几()]0'(t)

87 例 8  + 2 2 1 x x dx . 例 9  + + dx x x x (1 ) ( 1) 2 2 . 例 10 ⑴  − − dx x x 2 (10 10 ) ; ⑵  − + 2 . 2 3 1 e dx x x 例 11           = − = dx  x x dx x x 2 2 2 sin 1 2sin sin cos 2 . 例 12     2 2 cos sin d . Ex [1]P244 2，3，4 ⑴―⒁； [4]P247—254 1—3，5，6，72 ⑴―⑸⑻⑼. § 2 换元积分法与分部积分法 （1 0 时 ） 一. 第一类换元法 ——凑微法： 由 sin 2 5sin 2 sin 2 5sin 2 (sin 2 ) 10sin 2 cos2 , 5 4 4 4 d x = x d x = x x dx = x xdx     10sin 2x cos 2xdx = 5 sin 2x(sin 2x)dx = 5 sin 2x d sin 2x 4 4 4 u=sin2x =====  5 = + = sin 2 + . 4 5 5 u du u c x c 引出凑微公式. Th 若  f (x)dx = F(x) + c, (x) 连续可导, 则  f [(t)](t)dt = F[(t)] + c. 该定理即为： 若函数 g(t) 能分解为 g(t) = f [(t)](t)

就有「g)d=「f几u)p'u)d=[f几u0d) n∫fd=Fx)+c=F】+c 例1「(ar+b)"dc,m≠-l,a≠0. 例2「sec2(5-3x)dk. 例3fos3ros2h-casx+cos5h= 常见微分凑法：[4]P183-190. 法1+6达=四+br+b创=fo咖 4jsm2x-0-os0达=.-n20+c 州加疏日 由例4一7可见，常可用初等化简把被积函数化为f(ar+b)型，然后用凑法1. 例8四空 。停-9

88 就有    g(t)dt = f [(t)](t)dt = f [(t)]d(t) x= (t) ====  f (x)dx = F(x) + c = F[(t)] + c . 例 1 ( + ) ,  −1,  0  ax b dx m a m . 例 2  sec (5 − 3x)dx 2 . 例 3   x xdx = (cos x + cos5x)dx =  2 1 cos3 cos 2 常见微分凑法：[4]P183—190. 凑法 1 ( ) . 1 ( ) ( ) 1 ( ) f u du a f ax b d ax b a f ax + b dx = + + = 例4   = − = = − sin 2 ) + . 2 1 ( 2 1 (1 cos ) 2 1 sin 2 xdx x dx  x x c 例5  = = + + . 2 2 2 2 2 c x arctg x dx  例6   + + = = + + = + + . 2 1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2 c x arctg x dx x x dx  例7     =      + − − = + − = + − dx x x x x dx x x dx 3 1 1 1 4 1 2 3 ( 3)( 1) 2 . 3 1 ln 4 1 c x x + + − =  = 由例 4—7 可见，常可用初等化简把被积函数化为 f (ax + b) 型，然后用凑法 1. 例 8 ⑴  + 2 1 x xdx . ⑵   = = + = + 10  10 5 10 14 4 ( ) 5 1 4 x x d x x x dx c x x arctg +        = − 2 2 5 1 5 5

族法2“cd=/ax=fod,特别地有 fu=5eae-fuh和t=2wG x 例9 xsnx产. 例10∫血乐在 产司可海 =2arcsin x+c -G) 2二-h 凑法3f(sinx)cosxdx=f(snx)dsin x-f(u)dr f(cos x)sin xdx=-f(cosx)d cosx=-f(u)du; f(tgx)sec2xdx=f(igx)digx=f(u)du. 例13ωjsn3 xcosxds②∫sn3xdk 朝w小e一-c [1]P247E6 例15∫secx=+g2xdgr=. 例16∫exsec'xdt=∫gxsec2 dsecx=∫6ec2x-lsec2 d secx= 凑法4f(e)e'k=f(e)der=f(u)du. 89

89 凑法 2 f u du k f x d x k x f x dx k k k k ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 = = − . 特别地, 有 . f x xdx f x d x f (u)du 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 = = 和 dx f ( x )d x x f x 2 ( ) = . 例 9  x x dx 2 sin . 例 10  . sin dx x x 例 11  = x(1 − x) dx ( )  = + − x c x d x 2arcsin 1 2 2 . 例 12           + ==== − + = + = + = du x x u u d x x x xdx x x dx u x 1 1 1 2 1 ( 1) ( ) 2 1 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2 2 2 = c x x c u u + + + = + 1 ln 2 1 1 ln 2 1 2 2 . 凑法 3 f (sin x) cos xdx = f (sin x)d sin x = f (u)du; f (cos x)sin xdx = − f (cos x)d cos x = − f (u)du; ( )sec ( ) ( ) . 2 f tgx xdx = f tgx dtgx = f u du 例13 ⑴  sin cos . 3 x xdx ⑵  sin . 3 xdx 例 14  + − + = = . 1 sin 1 sin ln 2 1 sec c x x xdx  [1]P247 E6 例 15 ( )   xdx = + tg x dtgx = 2 6 2 sec 1 . 例 16 ( )    sec = sec sec = sec −1 sec sec = . 2 2 t g5 x 3 xdx t g4 x 2 d x 2 x d x  凑法 4 f (e )e dx f (e )de f (u)du. x x x x = =

凑法5fmx)=/(hx)dhx=-fudu 80+2n k 凑法6 f(aresin)=f(arcsin )daresin f(udur, V1-x2 f(arct)f(arctgxydarctgx=f(udu. 1+x1 i9∫4g正k=2"gEdN-2gdh x(1+x) 1+X 1+11 =2 arcigidarcigt (arcigt)2+c=(arctg)+c 其他凑法举例： f=e2-e+e+e 例20「e-e e+e✉ 例21 hx+k=rh= (xIn x)2 J(xInx)2 例2∫sexd冰=∫ecs+gdk=「ec'x+secxtgxds= secx+igx secx +igx -[d(sec x+rgr)Isec secx+tgx 州 [4]P191E28 例24∫osr+5snxd [4]P191E28 sinx+cosx 90

90 例17  − − . 2 t e dt 凑法 5 (ln ) f (ln x)d ln x f (u)du. x dx f x = = 例18  + . x(1 2ln x) dx 凑法 6 (arcsin ) arcsin ( ) ; 1 (arcsin ) 2 dx f x d x f u du x f x = = − dx f arctgx darctgx f u du x f arctgx ( ) ( ) 1 ( ) 2 = = + . 例19    = + ===== + = + = dt t arctgt d x x arctg x dx x x arctg x t x 2 1 2 1 2 (1 )  = arctgtdarctgt = arctgt + c = arctg x + c 2 2 2 ( ) ( ) . 其他凑法举例: 例20 e e c e e d e e dx e e e e x x x x x x x x x x = + + + + = + − − − − − −   ln( ) ( ) . 例21   = = + 2 2  ( ln ) ( ln ) ( ln ) ln 1 x x d x x dx x x x 例22    = + + = + + = dx x tgx x xtgx dx x tgx x x tgx xdx sec sec sec sec sec (sec ) sec 2  = + + + + = x tgx c x tgx d x tgx ln |sec | sec (sec ) . 例 23  − + dx x x x x 5 sin cos cos sin . [4]P191 E28 例 24  + + dx x x x x sin cos cos 5sin . [4]P191 E28

1*、1 2 x-+2 24 Ex[1]P253-25411)-(24): [4254-25674-81 二.第二类换元法一拆微法：[2P192 从积分「cos21d出发，从两个方向用凑微法计算，即 ∫-xk-sm2dsnl =cos'tdt co2c. 引出拆微原理. Th2设x=p()是单调的可微函数，并且p'()≠0，又 f几p(t)】p'()具有原函数.则有换元公式 ∫fex达=可f(l'0d],ee (证) 参[2]P192 常用代换有所谓无理代换，三角代换，双曲代换，倒代换，万能代换，Euer代换等。 我们着重介绍三角代换和无理代换 1.三角代换：[4P194 )正弦代换：正弦代换简称为“弦换”.是针对型如Va2-x2(a>0)的根式施 91

91 例 25    =  +      −       − = + + = + +  2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 x x x d x dx x x x dx x x 例 26  + + − dx x x x 2 2 5 2 . Ex [1]P253—254 1⑴—(24)； [4] 254—256 74—81. 二. 第二类换元法 —— 拆微法：[2]P192 从积分  tdt 2 cos 出发，从两个方向用凑微法计算，即   − ==== − = x dx td t x t 1 1 sin sin 2 sin 2 = tdt  2 cos = =  + = + sin 2 + , 4 1 2 1 (1 cos 2 ) 2 1 t dt t t c 引出拆微原理. Th2 设 x = (t) 是单调的可微函数,并且 (t)  0; 又 f [(t)](t) 具有原函数. 则有换元公式   − = ( ) = [ [ ( )] ( ) ] . ( ) 1 t x f x dx f t t dt    (证) 参[2]P192. 常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等. 我们着重介绍三角代换和无理代换. 1. 三角代换: [4]P194. ⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 2 2 a − x (a  0) 的根式施

行的，目的是去掉根号.方法是：令x=asin,t(a>0),则 a-x=acost,dx=acosid,1=arcsin 后产ao 解法一直接积分，解法二用弦换 2 sncost d=2+c=2arcsne. 例28∫50-网 sin tcost (参阅例11) 例20小2+2x-在-小6-6-少与j5-Fdh =w恤-2xe=nom分-号24c (②)正切代换：正切代换简称为“切换”，是针对型如√a2+x2(a>0)的根式施行 的，目的是去掉根号.方法是：利用三角公式sec21-1g21=1,即1+1g21=sec21, 令x=ag,本=ac21d.此时有V+=aec4,1=arcg。变量还 原时，常用所谓辅助三角形法 解令x=√21g以，有k=√2sc21d.利用例22的结果，并用辅助三角形，有 e腰 =hx+2+x)+c,c=c'-h2. 州ea>0 [1P249-250E11 (3)正割代换：正割代换简称为“割换”.是针对型如√2-云(a>0)的根式施 92

92 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令 x = asin t, (a  0), 则 cos , 2 2 a − x = a t dx = a costdt, arcsin . a x t = 例27  − , 2 2 a x dx (a  0). 解法一 直接积分; 解法二 用弦换. 例28   ====== = + = + − = dt t c x c t t t t x x dx x t 2 2arcsin sin cos sin cos 2 (1 ) 2 sin . （ 参阅例 11 ） 例29    = − = + − = − − ===== − ===== t x t u x x dx x dx t dt 3 sin 2 1 2 2 2 2 3 ( 1) 3  + − + − − − = = + + = = x x c x x udu u u c 2 2 2 2 2 1 3 1 arcsin 2 3 sin 2 4 3 2 3 3 cos  . ⑵ 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如 2 2 a + x (a  0) 的根式施行 的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 sec 1, 2 2 t − tg t = 即 1 sec , 2 2 + tg t = t 令 x = atgt, dx a tdt 2 = sec . 此时有 sec , 2 2 a + x = a t . a x t = arctg 变量还 原时, 常用所谓辅助三角形法. 例30  + 2 2 x dx . 解 令 x = 2tgt, 有 dx tdt 2 = 2 sec . 利用例 22 的结果, 并用辅助三角形, 有  I = sec tdt = c x x t tgt c + +  + + +  = 2 2 2 ln sec ln 2 = ln( 2 ) , ln 2. 2 x + + x + c c = c  − 例 31 , 0. ( ) 2 2 2  +  a x a dx [1]P249—250 E11 ⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 2 2 x − a (a  0) 的根式施

行的，目的是去掉根号.方法是：利用三角公式sc21-1=g21,令x=asc1, 有√x2-a2=alg,dk=xsect·1gtdl.变量还愿时，常用辅助三角形法 例∫-。a>0 解了 产二-e atgt -h-a +c'=Ix+vx2-a2+c,c=c'-Ilal. aa 会 解法一（用割换） 1二0-小o=m*eF 解法二（凑微)参阅[1P250E12 2.无理代换[4P192. 若被积函数是，.，的有理式时，设n为n,(1≤i≤k)的最小公倍数 作代换1=G,有x=1”,在=m-d.可化被积函数为1的有理函数 5j高陪00陪 =-6f+,+hnl-到+c 93

93 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 sec 1 , 2 2 t − = tg t 令 x = asect, 有 , 2 2 x − a = atgt dx = x sec t tgtdt. 变量还愿时, 常用辅助三角形法. 例 32  − , 2 2 x a dx (a  0). 解  − 2 2 x a dx x=a sect =====   = tdt = t + tgt + c  = atgt a ttgtdt sec ln sec sec ln ln , 2 2 2 2 c x x a c a x a a x +  = + − + − = + c = c  − ln | a | . 例33  −1 2 2 x x dx . 解法一 （ 用割换 ）   = = + = − +   ===== = 1 . 1 cos sin sec sec 2 2 sec x c x dt tdt t c t tgt t tgt I x t 解法二 （ 凑微 ） 参阅[1]P250 E12. 2. 无理代换: [4]P192. 若被积函数是 n n nk x , x , , x 1 2  的有理式时, 设 n 为 n (1 i k) i   的最小公倍数, 作代换 n t = x , 有 x t dx nt dt n n 1 , − = = . 可化被积函数为 t 的有理函数. 例 34  dx x e x . 例 35     = = − = − + + − ===== − =  t dt t dt t t dt x x dx t x 1 6 (1 ) 6 1 6 2 3 2 6 x x x  + c      = − + + − 6 3 6 ln 1 2 1 6

若被积函数中只有一种根式√ax+b或 心+b,可试作代换1=瓜+b或 Vcx+e 。从中解出x来 6j,会2 例37」 受 例女僧出两种保油 ”j原-ih-rFia西e+w2 -小crw55e-+-c 本题还可用割换计算，但较繁 3.双曲代换：利用双曲函数恒等式ch2x-shx=1,令x=asht,可去掉 型如√a2+x2的根式.dk=achtd.化简时常用到双曲函数的一些恒等式，如： h=(ch2+1)(ch21-1).sh2=2shtcht.) 参阅复旦大学（陈传璋等）编，数学分析，上册P24 例0∫Va+Fk∫acn,achtd=ajch'd= -car-a-ta+受+c 94

94 若被积函数中只有一种根式 n ax + b 或 , n cx e ax b + + 可试作代换 n t = ax + b 或 n. cx e ax b t + + = . 从中解出 x 来. 例 36  + + 3 1 x 2 dx . 例 37  + . 1 1 dx x x x 例 38  . sin dx x x (给出两种解法) 例 39    − = − ====== +  = = − x x dx x x d x t t tdt t x ( 1) 2 2 1 1 ( ) 2 1 1 2 1 3 2 2 2 2 2  = + = + + c = x − + x − + c t t t t dt 2 3 2 2 5 2 5 3 4 2 ( 1) 3 1 ( 1) 5 1 5 3 ( ) . 本题还可用割换计算, 但较繁. 3. 双曲代换: 利用双曲函数恒等式 1 2 2 ch x − sh x = , 令 x = asht , 可去掉 型如 2 2 a + x 的根式. dx = achtdt . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如: ( 2 1), 2 2 . 2 1 ( 2 1), 2 2 1 2 ch t = ch t + sh t = ch t − sh t = shtcht ln( 1). 1 2 = + + − sh x x x :参阅复旦大学 (陈传璋等)编, 数学分析, 上册 P24. 例40    + =====  = = = a x dx acht achtdt a ch tdt x asht 2 2 2 2 = − = + +  =  t c a sh t a ch t dt a 2 2 4 ( 2 1) 2 2 2 2