华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.2 随机变量的数学期望

第二章随机变量及其分布 第1页 s2.2 随机变量的数学期望 >分赌本问题(17世纪) > 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元， >无平局，谁先赢3局，则获全部赌注 >当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博 >问如何分赌本？ 4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第1页 §2.2 随机变量的数学期望 ➢ 分赌本问题(17世纪) ➢ 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. ➢ 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. ➢ 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. ➢ 问如何分赌本?

第二章随机变量及其分布 第2页 两种分法 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注 1.按已赌局数分： 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博 问如何分赌本？ 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2按已赌局数和再赌下去的“期望”分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第2页 两种分法 1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 ➢ 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. ➢ 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. ➢ 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. ➢ 问如何分赌本?

第二章随机变量及其分布 第3页 2.2.1数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望”分， 则甲的所得X是一个可能取值为0或100 的随机变量，其分布列为： X 0 100 P 1/4 3/4 甲的“期望”所得是：0×1/4+100×3/4=75 4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第3页 2.2.1 数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为： X 0 100 P 1/4 3/4 甲的“期望” 所得是：01/4 +100  3/4 = 75

第二章随机变量及其分布 第4页 222数学期望的定义 定义221 设离散随机变量的分布列为 P(xn)=pm n=1,2,. 若级数工x ,绝对收敛，则称该级数为X的 数学期望，记为E(X)=Σx,P 4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第4页 2.2.2 数学期望的定义 定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xn ) = pn , n = 1, 2, . 若级数 绝对收敛，则称该级数为X 的 1 i i i x p  =  数学期望，记为 1 ( ) i i i E X x p  = = 

第二章随机变量及其分布 第5页 连续随机变量的数学期望 定义22.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x), 若积分x)dk绝对收敛，则称该积分为X的 数学期望，记为 E(X)=xp(x)d 4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第5页 连续随机变量的数学期望 定义2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x), 若积分 xp x dx ( ) 绝对收敛，则称该积分为X 的  − 数学期望，记为 E X xp x dx ( ) ( )  − = 

第二章随机变量及其分布 第6页 例22.1X 1-1 0 12 P0.20.10.4 0.3 则 EX0=-1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8 4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第6页 例2.2.1 则 E(X) = −1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3 = 0.8. X −1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3

第二章随机变量及其分布 第7页 押宝是赌博的一种，它以各种形式在世界各地流行，吞夺大量财富！ 例1：在我国南方流行一种“捉水鸡”的押宝，规则如下：由庄家 摸出一只棋子，放在密闭的盒子中，这只棋子可以是红的或者黑 的将、士、象、车、马、炮之一。 赌客们把钱押在一块写有上述十二个字（六个红字，六个黑字） 的台面的某个字上。 押定后，庄家揭开盒子露出那只棋子。 凡押中者（字和颜色都对）以1比10得到赏金， 不中者押金归庄家。 4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第7页 押宝是赌博的一种，它以各种形式在世界各地流行，吞夺大量财富！ 例1：在我国南方流行一种“捉水鸡”的押宝，规则如下：由庄家 摸出一只棋子，放在密闭的盒子中，这只棋子可以是红的或者黑 的将、士、象、车、马、炮之一。 赌客们把钱押在一块写有上述十二个字（六个红字，六个黑字） 的台面的某个字上。 押定后，庄家揭开盒子露出那只棋子。 凡押中者（字和颜色都对）以1比10得到赏金， 不中者押金归庄家

第二章随机变量及其分布 第8页 解：令X:一个赌徒当他押上1元赌注之后的所得 注意 X 0 11 是 普及概 率知识 该赌徒的平均所得为：EX0x是+1x品=吕 更有助 于杜绝 赌徒支出（元） > 期望所得元！ 赌博现 结 论 赌博是不公平，并且是对庄家有利的： 象！ 所有的赌博都有这种不公平性 4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第8页 解：令X：一个赌徒当他押上1元赌注之后的所得. X 0 11 p 11 12 1 12 该赌徒的平均所得为：E(X)=0 x 11 12 +11 x 1 12 = 11 12 . 结 论 赌徒支出(1元) 赌博是不公平， 所有的赌博都有这种不公平性 普及概 率知识 更有助 于杜绝 赌博现 象！ > 期望所得( 𝟏𝟏 𝟏𝟐 元)! 并且是对庄家有利的！

第二章随机变量及其分布 第9页 注意点 数学期望简称为期望 数学期望又称为均值 数学期望是一种加权平均 4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第9页 ➢ 数学期望简称为期望. ➢ 数学期望又称为均值. ➢ 数学期望是一种加权平均. 注 意 点

第二章随机变量及其分布 第10页 2.23数学期望的性质 定理221 设Y=g(X)是随机变量的函数， 若E(g(X)存在，则 8x)PX=x》 E(g(X)={ g(x)p(x)d 4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第10页 2.2.3 数学期望的性质 定理2.2.1 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X)) 存在，则 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) i i i g x P X x E g X g x p x dx  =  −       = =  