华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 3.1 多维随机变量及其联合分布

第三章多维随机变量及其分布 第1页 第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 53.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第1页 §3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布 第2页 S3.1多维随机变量及其联合分布 3.3.1多维随机变量 >定义311 若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X,Y)是两维随机变量， >同理可定义维随机变量（随机向量）. 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第2页 3.3.1 多维随机变量 ➢ 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量. ➢ 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量). §3.1 多维随机变量及其联合分布

第三章多维随机变量及其分布 第3页 实例1 炮弹的弹着点的 位置(X,Y)是一个二维随 机变量 实例2考查某一地区学前 儿童的发育情况，儿童的身 高H和体重W构成二维随 机变量(H,W)· 说明 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关， 而且还依赖于两个随机变量之间的相互关系. 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第3页 实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 是一个二维随 机变量. 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关, 而且还依赖于两个随机变量之间的相互关系. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 儿童的身 高 H 和体重 W 构成二维随 机变量 ( H, W ). 说明

第三章多维随机变量及其分布 第4页 3.1.2联合分布函数 定义3.12 (以下仅讨论两维随机变量) 任对实数x和y,称 F(x,y)=P{(X≤x)n(Y≤y)}=PX≤x,Y≤y} 为(X,的联合分布函数 注意： Fx,y)为(X,Y)落在点(x,y)的左下区域的概率 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第4页 定义3.1.2 3.1.2 联合分布函数 为(X, Y) 的联合分布函数. (以下仅讨论两维随机变量) 任对实数 x 和 y, 称 注意： F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑃{(𝑋 ≤ 𝑥) ∩ (𝑌 ≤ 𝑦)} = 𝑃{𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦}

第三章多维随机变量及其分布 第5页 设X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y, 二元函数： F(x,y)=P{X≤x)n(Y≤y)}=PX≤x,Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随 机变量X和Y的联合分布函数. 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第5页 设 (𝑋, 𝑌) 是二维随机变量,对于任意实数 𝑥, 𝑦, 二元函数: 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑃{(𝑋 ≤ 𝑥) ∩ (𝑌 ≤ 𝑦)} = 𝑃{𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦} 称为二维随机变量 (𝑋, 𝑌) 的分布函数,或称为随 机变量𝑋 和 𝑌 的联合分布函数

F(x,y)的函数值就是随机点落在如图所示区 域内的概率. (x,y) X≤x,Y≤y 0 文

o x y (x, y) • X  x,Y  y . ( , ) 域内的概率 F x y 的函数值就是随机点落在如图所示区

第三章多维随机变量及其分布 第7页 联合分布函数的基本性质 (I)Fx,y)关于x和y分别单调增（单调性） (2)0≤Fx,y)≤1，且（有界性 F-0,y)=Fx,-∞)=0，+o∞，+∞)=1. (3)Fx,y)关于x和y分别右连续 (右连续性) (4)当a<b,c∝d时，有非负性) F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)0. 注意：上式左边=P(a<X≤b,c∝Y≤d) 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第7页 联合分布函数的基本性质 (1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增. (2) 0  F(x, y)  1，且 F(−, y) = F(x, −) =0， F(+, +) = 1. (3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (4) 当a<b, c<d 时，有 F(b, d) − F(b, c) − F(a, d) + F(a, c)  0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d). (单调性) (有界性) (右连续性) (非负性)

第三章多维随机变量及其分布 第8页 3.13联合分布列 二维离散随机变量 若(X,)的可能取值为有限对、或河列对 则称(X,Y)为二维离散随机变量 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第8页 二维离散随机变量 3.1.3 联合分布列 若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量

第三章多维随机变量及其分布 第9页 二维离散分布的联合分布列 联合分布列的基本性质 称P=PX=xY=y),i,户1,2， 为X,Y)的联合分布列，其表格形式如下：(1)p之0， i,j=1,2,. (非负性 X1 P11 p12 Py (2) ∑Σp,=1: X2 P21 P22 P2j (正则性) X Pa P2 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第9页 二维离散分布的联合分布列 称 pij= P(X=xi , Y=yj )， i, j=1, 2, ., 为(X,Y) 的联合分布列，其表格形式如下: Y X y1 y2 . yj . x1 x2 . xi . p11 p12 . p1j . p21 p22 . p2j . . . . . . pi1 pi2 . pi j . . . . . . 联合分布列的基本性质 (1) pij  0, i, j = 1, 2,. (2)  pij = 1. (非负性) (正则性)

第三章多维随机变量及其分布 第10页 确定联合分布列的方法 (1) 确定随机变量X,)的所有取值数对 (2)计算取每个数值对的概率 (3)列出表格 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第10页 确定联合分布列的方法 (1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格