《数学分析》课程教学课件（讲稿）有理积分

§3有理函数和可化为 有理函数的不定积分 本节给出了求有理函数等有关类型的 不定积分的方法与步骤， 一、有理函数的部分分式分解 二、有理真分式的递推公式 三、三角函数有理式的不定积分 四、某些无理函数的不定积分 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §3 有理函数和可化为 一、有理函数的部分分式分解 本节给出了求有理函数等有关类型的 四、某些无理函数的不定积分 三、三角函数有理式的不定积分 二、有理真分式的递推公式 有理函数的不定积分 不定积分的方法与步骤. 返回

一、有理函数的部分分式分解 有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数， 其一般形式为： R(x)= P(c_a4x"+ax"-l+.+an Q(x)fxm+月xm-1+.+fm (a≠0，B。≠0)， m>n时称为真分式，m≤n时称为假分式. 假分式可化为一个多项式和一个真分式之和. 前页 返【

前页 后页 返回 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) n n n m m m P x x x R x Q x x x       − − + + + = = + + + 有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数, 一、有理函数的部分分式分解 m > n 时称为真分式, m ≤ n 时称为假分式. 假分式可化为一个多项式和一个真分式之和. 0 0 ( 0, 0),     其一般形式为:

真分式又可化为4 Bix+C xa与e+p十q之和，其 分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下： 1.对分母Qx)在实数系内作标准分解： 0(x)=(x-4)2(x-,)2(x2+px+g)(x2+p,x+,), 共种4eN且宫2：+4m p2-4g1<0,j=1,2,.,t. 2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分 式.对应于(x-)的部分分式是 前页 返回

前页 后页 返回 1. 对分母 Q(x) 在实数系内作标准分解: 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , s t Q x x a x a x p x q x p x q s t t     = − − + + + + 2 4 0, 1,2, , . j j p q j t −  = + 1 1 , N , 2 , s t i j i j i j     m = = 其中  + = 且   2. 根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分 分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下: 真分式又可化为 2 2 (x px q) Bi x Ci + + + ( ) i i A x a − 与 之和,其 ( )k 式. 对应于 x a − 的部分分式是

A+4 x-a (x-a)2 (x-a) 对应于（x2+px+q)的部分分式是 Bx+C B,x+C2 Bx+Ck x2+px+g (x2+px+q)2 (x2+px+g) 把所有部分分式加起来，使之等于Q),由此确定 上述部分分式中的待定系数A;,B:,C· 前页

前页 后页 返回 . ( ) ( ) 2 1 2 k k x a A x a A x a A − + + − + −  , ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 k k k x px q B x C x px q B x C x px q B x C + + + + + + + + + + + +  把所有部分分式加起来,使之等于 Q(x), 由此确定 对应于 k (x px q) 2 + + 的部分分式是 上述部分分式中的待定系数 Ai , Bi , Ci

3.确定待定系数的方法 把所有分式通分相加，所得分式的分子与原分子 P心)应该相等.根据两个多项式相等时同次项系数 必定相等的原则，得到待定系数所满足的线性方程 组，由此解出待定系数 例1对Rx)= 2x4-x3+4x2+9x-10 作部分 x5+x4-5x3-2x2+4x-8 分式分解 前页 返回

前页 后页 返回 3. 确定待定系数的方法 把所有分式通分相加, 所得分式的分子与原分子 分式分解. 组, 由此解出待定系数. 必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程 P(x) 应该相等. 根据两个多项式相等时同次项系数 例1 4 3 2 5 4 3 2 2 4 9 10 ( ) 5 2 4 8 x x x x R x x x x x x − + + − = + − − + − 对 作部分

解因为Q(x)=x5+x4-5x3-2x2+4x-8 =(x-2)(x+2)2(x2-x+1). 所以R)=4+A+4 ,Bx+C x-2x+2(x+2)2x2-x+1 两边乘以Q(x),得到 2x4-x3+4x2+9x-10 =A(x+2)2(x2-x+1)+A(x-2)x+2)x2-x+1) +A,(x-2)(x2-x+1)+(Bx+C)(x-2)x+2)2. 前页

前页 后页 返回 = + − + + − + − + 2 2 2 0 1 A x x x A x x x x ( 2) ( 1) ( 2)( 2)( 1) = + − − + − 5 4 3 2 解 因为Q x x x x x x ( ) 5 2 4 8+ = + + + − + + − + 0 1 2 2 2 ( ) , 2 2 ( 2) 1 A A A Bx C R x x x x x x 所以 两边乘以Q x( ), 得到 ( 2)( 2) ( 1). 2 2 = x − x + x − x + 4 3 2 2 4 9 10 x x x x − + + − + − − + + + − + 2 2 2 A x x x Bx C x x ( 2)( 1) ( )( 2)( 2)

比较同次项系数，得到线性方程组 4+4+B=2 x4的系数 3A,-A+A,+2B+C=-1x3的系数 A-3A1-3A,-4B+2C=4x2的系数 4A1+3A2-8B-4C=9 x的系数 4A-4A1-2A2-8C=-10 常数项 解得A=1,A1=2,A,=-1,B=-1,C=1. 于是完成了Rx)的部分分式分解： R(x)=1+21 x-1 x-2x+2(x-2)2x2-x+1 前页 返回

前页 后页 返回 比较同次项系数, 得到线性方程组 4 0 1 3 0 1 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 2 3 2 1 3 3 4 2 4 4 3 8 4 9 4 4 2 8 10 A A B x A A A B C x A A A B C x A A B C x A A A C  + + =  − + + + = −    − − − + =  + − − =   − − − = −  的系数 的系数 的系数 的系数 常数项 解得 1, 2, 1, 1, 1. A0 = A1 = A2 = − B = − C = . 1 1 ( 2) 1 2 2 2 1 ( ) 2 2 − + − − − − + + − = x x x x x x R x 于是完成了R(x) 的部分分式分解:

二、有理真分式的递推公式 任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形 式的不定积分之和： 04g0女m 下面解这两类积分 In|x-a|+C, k=1, dx 1 (1-k)(x-a+C, k>1. 前顶 返【

前页 后页 返回 任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形 d (i) ; ( )k x x a −  2 2 (ii) d ( 4 0). ( )k Lx M x p q x px q + −  + +  二 、有理真分式的递推公式 1 ln | | , 1, d (i) 1 , 1. ( ) (1 )( ) k k x a C k x x a C k k x a −  − + =  =  − +    − −  下面解这两类积分. 式的不定积分之和：

而令1+号=g-片N-M-学则 nJ气， Lx+M w-y k=1时， ∫nf+r+c 前页 返回

前页 后页 返回 2 2 2 2 d d . ( ) ( ) k k t t L t N t r t r = + + +   k = 1 , 时 2 2 d 1 arctan . t t C t r r r = + +  2 2 2 d d ( ) ( ) k k Lx M Lt N x t x px q t r + + = + + +   2 2 2 2 1 d ln( ) , 2 t t t r C t r = + + +  (ii) , 2 p 令 t x = + 2 2 , , 4 2 p pL r q N M = − = − 则

k≥2时， loa咖20sdr+c 记ey则 -千 a-alszyu 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 d( ) 1 d . ( ) 2 ( ) 2(1 )( ) k k k t t r t C t r t r k t r − + = = + + + − +   = +  2 2 d , ( ) k k t I t r 记 则+ − = +  2 2 2 2 2 2 1 ( ) d ( ) k k t r t I t r t r = − − +  2 2 2 2 2 1 1 1 d ( ) k k t I t r r t r k  2 , 时