华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.6 随机变量函数的分布

概率论与数理统升$2.6随机变量函数的分布、离散型随机变量的函数的分布一二、连续型随机变量的函数的分布

一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 §2.6 随机变量函数的分布

概率论与散理统计一、离散型随机变量的函数的分布设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数,若随机变量Y随着X取值x的值而取 y= f (x)的值,则称随机变量Y为随机变量 X的函数,记作Y = f(X)问题如何根据已知的随机变量X的分布求得随机变量Y=f(X)的分布?

, ( ). ( ) , , ( ) X Y f X y f x Y x Y X x f x X = = 变量 的函数 记作 的值而取 的值 则称随机变量 为随机 的集合上的函数 若随机变量 随着 取值 设 是定义在随机变量 的一切可能值 问题 分布求得随机变量 ( )的分布? 如何根据已知的随机变量 的 Y f X X = 一、离散型随机变量的函数的分布

概率论与数理统针例1 设 X 的分布律为X-10271111p4444求 =X2的分布律0Y解Y的分布律为1424

解 . 求 2 的分布律 设 的分布律为 Y X X = X p − 1 0 1 2 4 1 4 1 4 1 4 1 例1 Y 的分布律为 Y p 4 1 2 1 4 1 0 1 4

概率论与数理统针离散型随机变量的函数的分布如果 X 是离散型随机变量,其函数 Y = g(X)也是离散型随机变量.若X的分布律为XXkXX2PkPkprP2则 Y=g(X)的分布律为g(x)g(x,)g(x)Y = g(X)Pkp.p2Pk若g(x)中有值相同的应将相应的p合并

离散型随机变量的函数的分布 也是离散型随机变量 若 的分布律为 如果 是离散型随机变量 其函数 X X Y g X . , = ( ) X pk x1 x2  xk  p1 p2  pk  则Y = g(X)的分布律为 pk Y = g(X) p1 p2  pk  g(x1 ) g(x2 )  g(xk )  若 ( )中有值相同的,应将相应的 合并. g xk pk

概率论与数理统升二、连续型随机变量的函数的分布例2设随机变量X的概率密度为x0<x<4,px(x) = (8其他.0,求随机变量Y=2X+8的概率密度解?第一步先求Y=2X+8的分布函数F(y)Fr(y) = P(Y ≤ y} = P(2X +8 ≤ y)

第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 F ( y). Y F ( y) P{Y y} Y =  = P{2X + 8  y} 解 二、连续型随机变量的函数的分布 设随机变量 𝑋 的概率密度为 𝑝𝑋(𝑥) = ൞ 𝑥 8 , 0 < 𝑥 < 4, 0, 其他. 求随机变量 𝑌 = 2𝑋 + 8 的概率密度. 例2

概率论与数理统针?J-= P(X≤ J?0<x<4,28Px(x) =30，其他第二步由分布函数求概率密度88V-pr(y) = Fy() =[F02211-80<-8<4,8222所以 pr(y) =0,其他.y-88<y<16,321其他.0

𝑝𝑌(𝑦) = 𝐹𝑦 ′ (𝑦) 8 ( ) 2 X y F − } = 2 8 { − =  y P X = 𝑝𝑋( 𝑦 − 8 2 ) 1 2 , 第二步 由分布函数求概率密度. 8 [ ( )] 2 X y F − =  所以 𝑝𝑌(𝑦) = ൞ 1 8 ( 𝑦 − 8 2 ) ⋅ 1 2 , 0 < 𝑦 − 8 2 < 4, 0, 其他.        − = 0, . , 8 16, 32 8 其他 y y 𝑝𝑋(𝑥) = ൞ 𝑥 8 , 0 < 𝑥 < 4, 0, 其他

概率论与数理统计设随机变量 X 的概率密度为px(x),例3求随机变量Y = X2 的概率密度解先求随机变量Y=X?分布函数当 y>0 时F,(y)= P[Y≤y) = P(X? ≤y)=P(-y≤X≤/y) =Fx(y)-Fr(-/y)当 y≤0 时 F,(y)=0

F ( y) P{Y y} Y =  { } 2 = P X  y = P{− y  X  y} F ( y) F ( y) = X − X − 设随机变量 𝑋 的概率密度为 𝑝𝑋(𝑥), 求随机变量𝑌 = 𝑋 2 的概率密度. 解 , 先求随机变量Y = X 2 分布函数 例3 当 y  0 时 当 y  0 时 FY (y) = 0

概率论与数理统升[Fx(V))-Fx(-/5), y>0,F(y)=其它0,再由分布函数求概率密度.pr(y)=F(y)(px(V)(V)-px(-Vy)(-V),y> 00,y≤o[px(vy) + px(-Vy)]Fy>06/0,y≤o

再由分布函数求概率密度. = ቊ 𝑝𝑋( 𝑦)( 𝑦) ′ − 𝑝𝑋(− 𝑦)(− 𝑦) ′ , 𝑦 > 0 0, 𝑦 ≤ 0 = ൞ [𝑝𝑋( 𝑦) + 𝑝𝑋(− 𝑦)] 1 2 𝑦 , 𝑦 > 0 0, 𝑦 ≤ 0 ( ) F y Y = ( ) ( ), 0, 0, . F y F y y X X  − −    其它 𝑝𝑌(𝑦) = 𝐹𝑌 ′ (𝑦)

随机变量X的密度函数为px(x)概率论与数理统升则Y = X2的概率密度为pr (y)1y>0[p(v) +p(-v)],2Vy=0V2元py (y)=0,y≤oY～(1),称Y服从自由度为1的分布

随机变量𝑋的密度函数为p𝑋(𝑥), 则𝑌 = 𝑋 2的概率密度为 𝑝𝑌（𝑦) = ൞ 1 2 𝑦 𝑝( 𝑦) + 𝑝(− 𝑦) , 𝑦 > 0 0, 𝑦 ≤ 0 特别的，设𝑋~N（0,1），则φ（𝑥) = 1 2𝜋 𝑒 − 𝑥 2 2 , −∞ 0 0, 𝑦 ≤ 0 Y ~  2 (1),称Y服从自由度为1的 2 分布

概率论与数理统针定理设随机变量 X 的具有概率密度 px(x),其中－ 0(或恒有g'(x)< 0), 则称Y = g(Y)是连续型随机变量，其概率密度为p[h(y)]lh'(y)l,α<<β,pr(y) =其他.0,其中 α = min(g(-o0), g(+oo), β = max(g(-o0), g(+o0),h(y) 是 g(x)的反函数

( ) ( ) . min( ( ), ( )), max( ( ), ( )), 是 的反函数 其 中 h y g x α = g − g + β = g − g + 定理 设随机变量 𝑋 的具有概率密度 𝑝𝑋(𝑥), 其中 − ∞ 0(或恒有𝑔 ′ (𝑥) < 0), 则称𝑌 = 𝑔(𝑌)是连续型 随机变量, 其概率密度为 𝑝𝑌(𝑦) = ቐ 𝑝[ℎ(𝑦)] ℎ ′ (𝑦) , α < 𝑦 < β, 0, 其他