华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 3.2 边际分布与随机变量的独立性

第1页第三章多维随机变量及其分布$3.2边际分布与随机变量的独立性问题：已知二维随机变量（X,Y的分布如何求出X和Y各自的分布？4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第1页 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 X 和 Y 各自的分布？

第2页第三章多维随机变量及其分布3.2.1边际分布函数已知(X,)的联合分布函数为F(x,J)则X ~ Fx(x) = F(x, +00)Y ~ Fy() = F(+o0 , y)4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第2页 3.2.1 边际分布函数 巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则 Y  FY (y) = F(+ , y). X  FX (x) = F(x, +)

第3页第三章多维随机变量及其分布3.2.2边际分布列已知(X, Y) 的联合分布列为 pi，则P, = P(X = x)=Zp,=piX的分布列为 :j=lP, =P(Y = y,)=Zp, = p.jY的分布列为：t=l4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第3页 3.2.2 边际分布列 巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij， 则 X 的分布列为： Y 的分布列为：

第三章多维随机变量及其分布第4页XXiX2XYyiPuP21Pily2P12P22Pi2DDyPj,i=1,2,..P[X = x,} ==P(Y = y)}- E p, =1,..4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第4页 { } , 1,2, ; 1 = =  =   = P X x p i j i ij { } , 1,2, . 1 = =  =   = P Y y p j i j ij X Y x1 x2  xi    j y y y 2 1 p11 p21  pi1  p12 p22  pi 2     p1 j p2 j  pij    

第5页第三章多维随机变量及其分布yy..p9+注意x.p联合分布边缘分布..4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第5页 X Y 1 2 j y y y 1 2 i x x x 11 12 1 21 22 2 1 2 j j i i ij p p p p p p p p p i p  1 2 i p p p    j p 1 2 j p p p    注意 联合分布 边缘分布

第6页第三章多维随机变量及其分布例：求（XY)的分量X和Y的边缘分布07/307/151/157/3001pi.7/307/107/153/107/301/157/103/101p.i4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第6页 Y X 0 1 0 7/15 7/30 1 7/30 1/15 例：求(X,Y)的分量X和Y的边缘分布。 Y X 0 1 pi. 0 7/15 7/30 7/10 1 7/30 1/15 3/10 p.j 7/10 3/10 1

第7页第三章多维随机变量及其分布三、连续型随机变量的边缘概率密度定义对于连续型随机变量(X,Y)，设它的概率密度为 p(x,y),由于Fx(x) = F(x, ) =p(u,v)dv]du,8-8F(x, y) =p(u,v)dvdu8记Px(x) =p(x,y)dy,-8称其为随机变量（X，Y）关于X的边缘概率密度4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第7页 对于连续型随机变量 (𝑋, 𝑌), 设它的概率 密度为 𝑝(𝑥, 𝑦), 由于 定义 三、连续型随机变量的边缘概率密度 𝐹𝑋(𝑥) = 𝐹(𝑥, ∞) = න −∞ 𝑥 [න −∞ ∞ 𝑝(𝑢, 𝑣) d 𝑣] d 𝑢 , 记 𝑝𝑋(𝑥) = න −∞ ∞ 𝑝(𝑥, 𝑦) d 𝑦 , 称其为随机变量 (𝑋, 𝑌) 关于 𝑋 的边缘概率密度

第8页第三章多维随机变量及其分布同理可得Y的边缘分布函数+8Fy(y) = F(8,y) =p(u,v)du dv,8p(x,y)dxpr(y) =Y的边缘概率密度4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第8页 同理可得 Y 的边缘分布函数 𝑝𝑌(𝑦) = න −∞ +∞ 𝑝(𝑥, 𝑦) d 𝑥 . Y 的边缘概率密度. 𝐹𝑌(𝑦) = 𝐹(∞, 𝑦) = න −∞ 𝑦 න −∞ +∞ 𝑝(𝑢, 𝑣) d 𝑢 d 𝑣

第9页第三章多维随机变量及其分布3.2.3边际密度函数已知（X,Y)的联合密度函数为p(x,J)，则X的密度函数为 ：p(x)=/p(x,y)dyY的密度函数为 ：p(y)=p(x,y)dx4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第9页 3.2.3 边际密度函数 巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，则 X 的密度函数为 ： Y 的密度函数为 ：

第三章多维随机变量及其分布第10页例：若(X,Y)服从矩形区域 a≤x≤b，c≤y≤d上均匀分布，则边缘概率密度分别为ye[c,d],xe[a,b],d-cf(y)=}b-afx(x)=)0y&[c,d]X@[a,b];注：本例中分量X与Y都是服从均匀分布的随机变量。但对其它非矩形区域上的均匀分布分量还依然是均匀分布吗？4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第10页 例：若(X,Y)服从矩形区域 a≤x≤b，c≤y≤d 上均匀分布，则边缘概率密度分别为        − = 0, x [a,b]; , x [a,b], b a 1 f (x) X        − = 0, y [c,d]. , y [c,d], d c 1 f (y) Y 注：本例中分量X与Y都是服从均匀分布的随 机变量。 但对其它非矩形区域上的均匀分布 分量还依然是均匀分布吗？