《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分的概念

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三个典型问题 实例1 (求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0)、 A=? x轴与两条直线x=M、 ol a x=b所围成. 前页

前页 后页 返回 a b x y o A = ? 曲边梯形由连续曲线 实例1 （求曲边梯形的面积） y = f (x)( f (x)  0)、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成. 三个典型问题 y = f (x)

用矩形面积近似取代曲边梯形面积 ol a b x ol a b X (四个小矩形) (九个小矩形) 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积. 前顶 返回

前页 后页 返回 a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）

曲边梯形如图所示，在区间[α，b]内插入若干 个分点，a=x<x1<x2<<xm-1<xn=b, 把区间[a,b]分成n 少 个小区间[K, 长度为△x,=X;-X- 在每个小区间x-1, 上任取一点5， a x Xi-5xi xn-1b 以[K,x为底，f(传)为高的小矩形面积为 A:=f(5:)△x 前顶

前页 后页 返回 曲边梯形如图所示， , [ , ] a x0 x1 x2 x 1 x b a b 个分点， =    n−  n = 在区间 内插入若干 a b x y o  i x1 xi−1 xi xn−1 ; [ , ] [ , ] 1 1 − −  i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， 在每个小区间 i xi xi  [ , ] −1 i i xi A = f ( ) 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为

曲边梯形面积的近似值为 A≈2f传，)Ax 当分割无限加细，即小区间的最大长度 T=max{Ax,Ax2,.Axn} 趋近于零(T→0)时， 曲边梯形面积为 4=lim 7→0 )A 前页 返回

前页 后页 返回 i n i A   f i x = ( ) 1  曲边梯形面积的近似值为 i n i i T A = f x = → lim ( ) 1 0  趋近于零 ( 0) 时， T max{ , , } 当分割无限加细,即小区间的最大长度 1 2 → =    T x x  x n 曲边梯形面积为

实例2（求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动，已知速度y=v(t)是 时间间隔[T,T,】上t的一个连续函数，且 v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值. 前顶

前页 后页 返回 实例2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是 时间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且 v(t)  0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．

(1)分割T1=t0 i=1 前顶 返回

前页 后页 返回 （1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t =    n−  n =  i = i − i−1 t t t i i i s  v( )t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i s  v t = ( ) 1  （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n  = t t  t i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0   路程的精确值

实例3（求密度不均匀线状物的质量) 己知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为 p(x),x∈[a,b],求线状物体的质量m. 显然，当f(x)=c为常值函数时，S(A)=c(b-a)； 当v(t)=v,为匀速运动时，s=v(b-a);当质量为 均匀分布时，即p(x)=p为常数时，m=p(b-) 这就是说，在“常值”、“均匀”、“不变”的情况 前页 返

前页 后页 返回 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为 (x) , x [a,b], 求线状物体的质量 m . 显然, 当 f x c S A c b a ( ) ( ) ( );  = − 为常值函数时， 0 当v t v ( )  0 为匀速运动时, s v b a = − ( ); 当质量为 均匀分布时，即   ( )  x 为常数时, m = (b − a). 这就是说,在“常值” 、 “均匀” 、 “不变” 的情况下， 实例3 （求密度不均匀线状物的质量）

可以用简单的乘法进行计算.而现在遇到的问题 是“非常值”、“不均匀”、“有变化”的情形。 在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊 和式的极限 lim 1-→0 f5,)Ax i=1 这类特殊极限问题导出了定积分的概念. 前项 返回

前页 后页 返回 可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形。 在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊 和式的极限: 这类特殊极限问题导出了定积分的概念. i n i f i x = → lim ( ) 1 0  

如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的 过程呢？这可以分三步进行. 1.分割：把曲边梯形A分成n个小曲边梯形 A1,A2,.,An, 即在[a,b]上找到n-1个分点{x,x2,.,xm}, a<X1<x2<.<xm-1<b, 0x1x2 Xn-1 b 前顶

前页 后页 返回 过程呢？ 这可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形 , , , , A1 A2  An a 1 x 2 x xn−1 b 即在 上找到 个分点 1 2 1 { , , , }, n x x x − [ , ] a b n − 1 1 2 1 , n a x x x b      − 如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的