《数学分析》课程教学课件（讲稿）微积分学基本定理

§5微积分学基本定理 本节将介绍微积分学基本定理，并 用以证明连续函数的原函数的存在性 在此基础上又可导出定积分的换元积 分法与分部积分法. 一、变限积分与原函数的存在性 二、换元积分法与分部积分法 三、泰勒公式的积分型余项 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §5 微积分学基本定理 一、变限积分与原函数的存在性 本节将介绍微积分学基本定理, 并 用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积 分法与分部积分法. 三、泰勒公式的积分型余项 二、换元积分法与分部积分法 返回

一、变限积分与原函数的存在性 设f在[a,b上可积，则x∈[a,b],f在[a,x上 可积.称D(x)=f()dt,x∈[a,b]为变上限的定 积分；类似称平(x)=∫心f)为变下限的定积分 定理9.9（变上限定积分的连续性） 若f在a,b1上可积，则(x)=f()dt在Ia,b] 上连续. 证Vx∈[a,b小，若x+△x∈[a,b],则 前页 边

前页 后页 返回 一、变限积分与原函数的存在性 设 在 上可积, 则 在 上 f a, b x a, b f a, x [ ] [ ], [ ]   积分; 类似称 ( ) ( )d b x  x f t t =  为变下限的定积分. 定理9.9 ( 变上限定积分的连续性 ) 若 在 上可积 f a, b [ ] , ( ) ( )d [ , ] x a 则 在  x f t t a b =  证 x [a, b], 若x + x [a, b], 则 上连续. ( ) ( )d , [ , ] x a 可积. 称 x f t t x a b =   为变上限的定

Ao=∫a“f)di-∫f)df=ft)d. 因f在[o,b]上有界，故3M,|f(t)川≤M,x∈[a,b. 于是Ao1f0d≤MA,从而 im△D=0.由x的任意性，f在[a,b]上连续 1x→0 定理9.10（微积分学基本定理) 若f在[a,b]上连续，则D(x)=∫fu)dt在[a,b 上处处可导，且 )d-)x 前 返回

前页 后页 返回 Δ ( )d ( )d x x x a a f t t f t t   + = −   ( )d .  + = x x x f t t  因 在 上有界 f a, b [ ] ,故    M f t x a b , | ( ) | , [ , ].  于是 | Δ | ( )d | Δ | , x x x f t t x    从而 + =   定理9.10（微积分学基本定理) 若 f 在 [a, b] 上连续, ( ) ( )d [ , ] x a  x f t t a b = 则  在 上处处可导,且  = =   d ( ) ( )d ( ), [ , ]. d x a x f t t f x x a b x  由 x 的任意性, f 在 [ a, b ] 上连续. Δ 0 lim Δ 0. x  → =

证x∈[a,b],当x≠0，且x+x∈[a,b]时， Jf0w=f+h0s0sL △Φ 人x 由于f在x处连续，因此 Φ'(x)=limf(x+B△c)=f(x). 注1本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似 乎不相干的概念之间的内在联系，也证明了“连 续函数必存在原函数”这个重要结论. 前页

前页 后页 返回 证    +  x a b x x x a b [ , ], 当 Δ 0, 且 Δ [ , ] , 时 Δ 1 Δ ( )d Δ Δ x x x f t t x x  + =  = f (x +x), 0 1.    由于 f 在 x 处连续，因此 Δ 0 ( ) lim ( Δ ) ( ). x   x f x x f x →  = + = 注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似 续函数必存在原函数”这个重要结论. 乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连

注2由于f的任意两个原函数只能相差一个常数， 所以当f为连续函数时，它的任一原函数F必为 Fx)=∫f)dt+C. 用x=a代入，得F(a)=C;再用x=b代入，则得 ∫f0dt=Fb)-Fa. 定理9.11（积分第二中值定理）设f在[a,b小上可积 (①若函数g在[a,b]上单调减，且g(x)≥0，则存 在5∈a,b1,使f)gxd=g(afx)dx. 前页 返回

前页 后页 返回 注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数, ( ) ( )d . x a F x f t t C = +  用 代入,得 再用 代入,则得 x a F a C x b = = = ( ) ; ( ) d ( ) ( ). b a f t t F b F a = −  定理9.11(积分第二中值定理) 设 f 在[a, b]上可积. (i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 g(x)  0, 则存 在 使  [ , ], a b ( ) ( )d ( ) ( )d .   =  a b a f x g x x g a f x x 所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为

()若函数g在a,b1上单调增，且g(x)≥0，则存 在n∈a,b1使。f(xg(xdx=gbfe)de. 证这里只证（①，类似可证(）.证明分以下五步： (I)对任意分割T:M=x<x1<·<xn=b, I"f(x)g(x)dx-f(x)g(x)dx fx)川g(x)-g(x)ldx 1 +∑8小fedr=l+l (2)因|f(x)川≤L,xa,b],故 前顶

前页 后页 返回 (ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 g(x)  0, 则存 在 使  [ , ], a b ( ) ( )d ( ) ( )d . b b a f x g x x g b f x x  =   证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步: (1) 对任意分割 T： , a = x0  x1    xn = b ( ) ( )d b a I f x g x x =  1 1 ( ) ( )d i i n x x i f x g x x − = =  1 1 1 ( ) [ ( ) ( ) ]d i i n x i x i f x g x g x x − − = = −  . 1 2 = I + I 1 1 1 ( ) ( )d i i n x i x i g x f x x − − = +  (2) | ( ) | , [ , ], 因 f x L x a b   故

14l2f91g)-gx小dx ≤∑|fxlg()-g(c1dx≤L∑oAx 因g可积，故3T:a=x<x<.<xn=b,使 4x<8→14sc =1 3)设F(:)=∫f)t,则 L2=∑g(cIFx)-FxI =g(x)儿Fx)-F(o)】+ +g()F(x)-F(x) 前 返回

前页 后页 返回 1 1 1 1 | | ( ) [ ( ) ( )]d i i n x i x i I f x g x g x x − − = = −  1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | d i i n x i x i f x g x g x x  − − =  −  1 Δ . n g i i i L x  =   0 1 , : , n 因 可积 故 使 g T a x x x b  =     = 1 Δ n g i i i x L   =   1   | | . I  2 1 1 1 ( )[ ( ) ( )] n i i i i I g x F x F x − − = = −  0 1 0 = − +  g x F x F x ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] + g xn−1 F xn − F xn−1 (3) ( ) ( )d , x a 设 F x f t t =  则

=F(x)儿g(x)-g(x1川+ +F(x)g(x2)-g(x1)1+F(x)g(x1) 2FsIg)-g1+Fbg（(x. 由对g的假设，gcw1)≥0，g(x)-gc)≥0.记 m=min F(x)),M=max F(x)), xE(a,b) x∈(a,b) n-1 则I2≤M∑g(c,)-g(x)】+Mg(xm)=Mg(a), i-1 n-1 I2≥m∑Ig(x)-g(x,川+mg(xm1)=mg(@, i=1 前页 返回

前页 后页 返回 1 1 , ( ) 0, ( ) ( ) 0. n i i 由对 的假设 记 g g x g x g x − −  −  1 0 1 = − +  F x g x g x ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ). 1 1  1 1 − = = − − + − n i F xi g xi g xi F b g xn ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) + F xn−1 g xn−2 − g xn−1 + F xn g xn−1 ( , ) min { ( ) }, x a b m F x  = ( , ) max { ( ) }, x a b M F x  = 1 2 1 1 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ), n i i n i 则 I M g x g x Mg x Mg a − − − =  − + =  1 2 1 1 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ), n i i n i I m g x g x mg x mg a − − − =  − + = 

于是g(a≤I2≤Mg(a): (4)综合(2)，3)，得到 mg(a)-&≤I1+L2≤Mg(a)+&. 令&→0，便得mg(@)≤I≤Mg(a). (⑤)若g(@)=0,则1=fx)gx)dr=0,此时任取 专ea,满足∫fx)g(x)r=g(o∫fx)dc. 若a>d则m≤间.面F/ 前 返回

前页 后页 返回 (4) 综合 (2), (3), 得到 1 2 mg a I I Mg a ( ) ( ) . −  +  +   令 便得  →   0, ( ) ( ). mg a I Mg a (5) ( ) 0, ( ) ( )d 0, b a 若 则 此时任取 g a I f x g x x = = =   [ , ], a b 满足 ( ) ( )d ( ) ( )d . b a a f x g x x g a f x x  =   ( ) ( ). 于 是 mg a  I2  Mg a 若 则 g a( ) 0,  . ( ) M g a I m   ( ) ( )d x a 由 F x f t t = 

的连续性，存在5∈a,b小，使 R哈maro 即 ∫fe)gx)dr=g(aJf(w)dc. 推论设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[，b]上单调， 则存在5ea,b1,使 "f(x)g(x)dx-g(af(x)dx+gb)f(x)dx. 前页 返回

前页 后页 返回 ( ) ( )d , ( ) a I F f t t g a   = =  则存在 使  [ , ], a b ( ) ( )d ( ) ( )d ( ) ( )d . b b a a f x g x x g a f x x g b f x x   = +    推论 设 在 上可积, 在 上单调, f x a b g x a b ( ) [ , ] ( ) [ , ] 的连续性 ,存在 [a, b], 使 ( ) ( )d ( ) ( )d . b a a f x g x x g a f x x  = 即  