《数学分析》课程教学课件（讲稿）一致收敛函数列与函数项级数的性质

§2一致收敛函数列与 函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要， 前页

前页 后页 返回 §2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要. 返回

定理13.8（极限立换定理)设函数列{fn}在 (a,xo)U(xo,b)业一致收做于f(x),且对年个n, Iimf,()=an,则iman和imf(x)均存在且相等.即 n®￥ x®x lim limf (x)=lim lim f (x). (1) x®xon®￥ ®￥x®o 证先证{un}是收做散列.对径意e>0,由于{fn}一 致收敛，故存在正整数N,当>N及任意正整数p, 对一切xi(a,)U(x,b)有 If(x)-f(x)e. 前页

前页 后页 返回 定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列 在 上一致收敛于 , 且对每个 n, 即 证 先证 是收敛数列. 对任意 , 由于 一 致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p, 对一切 有

从而|an-an+p=lim|fn(x)-fmp(x)Ee. x®Xo 子是由柯西准则可知{a,}是收做散列，设lima=A, n®￥ 即lim limf(x)=A, n®￥x®x, 下面证明limf(x)=lim limf(x)=A. x®on®Y 注意到 If(x)-Al Elf(x)-fv(x)+(x)-ava-4l 只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可. 前

前页 后页 返回 从而 于是由柯西准则可知 是收敛数列, 即 下面证明 注意到 只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可

If(x)-Af(x)-f(x)+(x)-av+aN-Al 由于f,(x)一致收敛于f(x),n收做于A,因此对在 意e>0,存在正散N,岁n>N时，对径意xi(a,x) U(x,b),有 f)f水号和1，A水号 同时成立.特别当n=N+1时，有 1)-f外水号和aA小水号 前页

前页 后页 返回 由于 一致收敛于 ， 收敛于 , 因此对任 同时成立. 特别当 时, 有 , 有 , 存在正数 , 当 时, 对任意

If(x)-Af(x)-fv(x+(x)-a+aN-A 又因为lim fv1(x)=av1,故存在d>0,当 x®X0 0可x,Kd时，也有fn)-a水写 这样，当x满足0<x-x<d时， If(x)-AElf(x)-(x+v(x)-a 2=e, 这就证明了limf(x)=A

前页 后页 返回 又因为 故存在 , 当 时,也有 这就证明了

定理指出：在一致收做的条件下，{f,(x)}中关于独 立变量x与的极限可以交换次序，即()式成立 类似地，若f(x)在(a,b)业一致收敛，且lim f(x) 存在，侧有lim limf(x)=lim limf(x)； x®ahR￥ n®￥x®a 若fn(x)在(a,b)上一致收敛，且imf,(x)存在，则有 lim limf (x)=limlim f (x). r®bn®￥ n®￥x®b

前页 后页 返回 定理指出: 在一致收敛的条件下, 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立. 上一致收敛, 且 存在, 则有

定理13.9（连续性）若函数列{f}存区向I业一致收 做，且年一项都连续，则其极限函散f在I上也连续 证设x,为I上任一点由于lim f(x)=fn(xo),子 x®x 是由定程13.8知imf(x)也存在，且 lim f(x)=lim f,(xo)=f(xo), x®X 因此f(x)在x,上连续. 定理13.9可以逆过来用：若各项为连续函数的函数 列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列在区 间I上一定不一致收敛

前页 后页 返回 定理13.9 (连续性) 若函数列 在区间 I上一致收 敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 在 I 上也连续. 证 于 是由定理 13.8 知 也存在, 且 定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数 列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区 间 I 上一定不一致收敛

例如：函散列{x”}的各项在(-1,1上都是连续的，但 0,-1<x<1, 典极限函数f(X)= 在x=1时不连 1,x=1 续，所以{x"}在(-1,1)上不一致收敛 前过

前页 后页 返回 例如: 函数列 的各项在 上都是连续的, 但 其极限函数 续, 所以 在 上不一致收敛

定理13.10（可织性）若函款列{fn}在[4，b]上一致收 敛，且每一项都连续，则 ()ds)ds. (3) 证设f为函散列{fn}在[，b]上的极限函散.由定理 13.9知f在[a,b]业连续，从不fn(n=1,2,L)与f在 [a,b1上都可积.于是3)变为 ()dx-f()dx. (39

前页 后页 返回 证 设 为函数列 在 上的极限函数. 由定理 13.9知 在 上连续, 从而 与 在 上都可积. 于是(3)变为 定理13.10 (可积性) 若函数列 在 上一致收 敛, 且每一项都连续, 则

因为在{a,b]上f,一致收敛于f,故对牙径意e>0, 存在N,当n>N时，对一切xi[a,bl,都有 If (x)-f(x)e. 再根据定积分的性质，当n>N时有 G-f)dx-(f.(x)-fdx Ef(x)-f(x)dxEe(b-a), 这就证明了等式(3g. 这个定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与 积分运算的顺序可以交换

前页 后页 返回 这就证明了等式 这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与 积分运算的顺序可以交换. 故对于任意 , 存在 再根据定积分的性质, 当 时有