《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章课件_4.1微分方程的概念

第四章微分方程 已知y=F(x),求y'一散分问题 已知生仍求口 一积分问题 推广 已知含及其若干阶导数的方程，求口 一微分方程问邀

第四章 微分方程 已知 ᵆ′ = ᵆ(ᵆ), 求ᵆ — 积分问题 已知含ᵆ及其若干阶导数的方程, 求ᵆ — 微分方程问题 推广 — 微分问题

第四章徽分方程 第一节微分方程的概念 第二节一阶微分方程 第三节二阶微分方程

第一节 微分方程的概念 第二节 一阶微分方程 第三节 二阶微分方程 第四章 微分方程

第一节微分方程的概念 一、问题引入 二、微分方程的定义 三、微分方程的解

第一节 微分方程的概念 一、问题引入 二、微分方程的定义 三、微分方程的解

一、问题引入 引例一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M化y) 处的切线的斜率为2x,求此曲线的方程 解 设所求曲线为y口y(x) =2x其中x1时，y2 dx y口2xk即y☐x2口C, 求得C口1， 所求曲线方程为y口x2口1

解 引例 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x,y) 处的切线的斜率为2x，求此曲线的方程. 一、问题引入

二、微分方程的定义 含有自变量、未知函数及未知函数的导数（或 微分)的方程称为微分方程 自变量、未知函数可以在方程中不出现，但 未知函数的导数必须出现. 例如 H2-3目 G手口 0z 田仔0 Ox =x+y 分类1：常微分方程，偏微分方程

例如 ᵆ′ = ᵆ ᵆ2ᵆ+ ᵆᵆ= 0 ᵆ″ + 2ᵆ′ − 3ᵆ= ᵆᵆ 含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或 微分) 的方程称为微分方程. 二、微分方程的定义 自变量、未知函数可以在方程中不出现，但 未知函数的导数必须出现. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程

微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数导数的最 高阶数. 例1(1)xy"+y")2=x5的阶数为() (2)3y2d+3x2d=0的阶数为(） (3)xy”+y)3-y4y'=0的阶数为() (4)下列方程中不是微分方程的是（ A.(y')2+3y= )B.dy+-dx =2dx C.y"=ex-y D.x2+y2=4

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数导数的最 高阶数. (4)下列方程中不是微分方程的是（ ） 例1

分类2：根据微分方程的阶 一阶微分方程 仰=0 隐式微分方程 G 显式微分方程 高()阶微分方程 F(x,y,y',.,y0)=0 ym=f(x,y,y',.,ym-1)

ᵆ(ᵆ, ′ 一阶微分方程 ) = 0 ᵆ′ = ᵆ(ᵆ,) 高(n)阶微分方程 分类2: 根据微分方程的阶 隐式微分方程 显式微分方程

三、主要问题-求方程的解 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数， 例2验证给定的函数是下列微分方程的解 (1)y'=y,y=Cex,其中c为任意常数. (2)y”+y=0,y=C1sinx+C2cosx,其中C1,C2为 任意常数

微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 三、主要问题-求方程的解 例2 验证给定的函数是下列微分方程的解

微分方程的通解 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个 数与微分方程的阶数相等的解， 例如y'=y的通解为y=Cex y"+y=0的通解为y=C1sinx+C2cosx

含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个 数与微分方程的阶数相等的解. 微分方程的通解

关于通解，请大家考虑以下几个问题？ 含有任意常数的解一定是通解吗？ 例如y=C1sinx+C2sinx不是y"+y=0的通解. 例如y=C1ec2cosx也不是y”+y=0的通解. 通解中任意常数可以随便取吗？ =1的通解为y=Cex 孝0 2 任意一个微分方程都有通解吗？ (y)2+y2=0的解为y=0,无通解 通解包含所有的解吗？ (x+y)y'=0的解为y=-x及y=C

关于通解，请大家考虑以下几个问题？ 任意一个微分方程都有通解吗？ 通解中任意常数可以随便取吗？ 含有任意常数的解一定是通解吗？ 通解包含所有的解吗？ 无通解. ᵆ≠ 0