《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章课件_6-1多元函数的基本概念

第之章 多元品款微分学 一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意：善于类比，区别异同

推广 第六章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分学

第一节多元函数的基本概念 ·一、平面点集n维空间 ·二、多元函数概念 ·三、多元函数的极限 ·四、多元函数的连续性 ·五、小结 练习题

第一节 多元函数的基本概念 • 一、平面点集 n维空间 • 二、多元函数概念 • 三、多元函数的极限 • 四、多元函数的连续性 • 五、小结 练习题

一、平面点集n维空间 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点 集，记作 E={c,川c,y)具有性质P: 例如，平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点 的集合是 C={c,Jy川x2+y2<r2},或C={P11OP<} 其中P表示坐标为化，)的点，OP表示点P到原点O的距离

一、平面点集 n维空间 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点 集记作 E={(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点 的集合是 C={(x y)| x 2+y 2<r 2 } 或C={P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离

(1)邻域 设P(x,J)是x0y平面上的一个点，6是某 一正数，与点P(x,)距离小于的点P(x,y) 的全体，称为点P的6邻域，记作U(P,δ) U(P,8)={PPP<8} ={(x,y)川Vx-x)2+(y-y)2<8. 点P,的去心邻域记为U(P,)={P0<PP,<8} 说明：若不需要强调邻域半径δ，也可写成U(P)或U(P)

（1）邻域 P0  0 0 2 2 0 0 ( , ) { | | } {( , ) | ( ) ( ) }. U P P PP x y x x y y    =  = − + −  • 说明:若不需要强调邻域半径 ,也可写成 o 0 0 U P U P ( ) ( ). 或 点 P0 的去心邻域记为 000 000 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) P x y xoy P x y P x y P U P     设 是 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记作

在讨论实际问题中也常使用方邻域，因为方邻域与圆 邻域可以互相包含， 平面上的方邻域为 U(,δ)={(x,y)x-xo<δ，y-0l<δ

在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 U (P0 ,δ ) = (x, y)  。 P0 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含

(2)点与点集的关系 设E是平面上的一个点集，P是平面上的 一个点.如果存在点P的某一邻域U(P)cE, 则称P为E的内点.E的内点属于E; 如果存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)∩E=中，则称P为E 的外点.E的外点不属于E

（2）点与点集的关系 ( ) . E P P U P E P E  设 是平面上的一个点集， 是平面上的 一个点．如果存在点 的某一邻域 ， 则称 为 的内点 E E 的内点属于 ; E P1 • ( ) ( . . ) P U P U P E P E E E =  如果存在点 的某一邻域 ， 使得 ，则称 为 的外点 的外点不属于 P2 •

如果点P的任一个邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点（点P本身可以属于E,也 可以不属于E),则称P为E的边界点， E的边界点的全体称为E的边界， 记作：OE 如果点P的任何一个去心邻域内总有属于点集E的点， 则称P为E的聚点

P E E P E E P E 如果点 的任一个邻域内既有属于 的点， 也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也 可以不属于 ），则称 为 的边界点． E P • E E E 的边界点的全体称为 的 , 记作： 边界 如果点P的任何一个去心邻域内总有属于点集E的点， 则称P为E 的聚点

说明： 内点一定是聚点； 点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E 例如，E={(x,y)川0<x2+y2≤1} (0,0)是聚点但不属于E; 边界上的点都是聚点也都属于E

点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 2 2 例如, E x y x y =  +  {( , ) | 0 1} (0,0) 是聚点但不属于E; 边界上的点都是聚点也都属于E． 内点一定是聚点； 说明：

(3)区域 如果点集E的点都是内点，则称E为开集 如果点集E的边界aEcE,则称E为闭集， 例如，E1={(x,y)1<x2+y2<4}是开集， E2={(x,y)1≤x2+y2≤4 是闭集， E3={x,y)1≤x2+y2<4 既非开集， 也非闭集

如果点集 E E 的点都是内点，则称 为开集. { ( , )1 4} 2 2 例如， E1 = x y  x + y  是开集． 如 果 点 集 E E E E 的 边 界   ， 则 称 为 闭 集 . (3)区域 2 2 2 E x y x y =  +  {( , ) 1 4} 2 2 3 E x y x y =  +  {( , ) 1 4} 是闭集． 既非开集， 也非闭集．

设E是点集.如果对于E内 任何两点，都可用折线连结起来， 且该折线上的点都属于E,则称 点集E为连通集或称E是连通的. 连通的开集称为区域或开区域： 例如，{(x,y)川1<x2+y2<4}

{ ( , ) | 1 4} . 2 2 例如， x y  x + y  x y o 连通的开集称为区域或开区域． • • E E E E E 设 是点集．如果对于 内 任何两点，都可用折线连结起来， 且该折线上的点都属于 ，则称 点集 为连通集或称 是连通的．