《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章课件_第五章第四节课件

第四节曲面乌曲线

第四节 曲面与曲线

曲面方程的概念一引例：求到两定点A(1,2,3）和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程解:设轨迹上的动点为 M(x,y,z),则|AM|=BM|,即V(x-1)2 +(y-2) +(z-3)2= /(x-2)2 +(y+1)2 +(z - 4)22x-6y+2z-7=0化简得说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面显然在此平面上的点的坐标都满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程

一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x −1) + (y − 2) + (z −3) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 = (x − 2) + (y +1) + (z − 4) 解:设轨迹上的动点为 M(x, y,z),则 AM = BM , 轨迹方程

定义1.如果曲面S与方程F(xJz）=0有下述关系（1）曲面S上的任意点的坐标都满足此方程(2）不在曲面S上的点的坐标不满足此方程则F（x,z）=O叫做曲面S的方程曲面S叫做方程Fxyz）=0的图形F(x,y,z)= 0S0Vx

定义1. F(x, y,z) = 0 S y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程

例1.求动点到定点Mo(xo,Yo,zo）距离为R的轨迹方程解：设轨迹上动点为M(x,y,z),依题意MM=R即/(x -xo)? +(y- yo)2 +(z-zo)? = R故所求方程为(x -xo)2 +(y- yo)? +(z- zo)2 = R27特别当M.在原点时，球面方程为Mox? + y? + 2? = R?Mz = ±/R2-x2 - y2表示上(下)球面0yx

故所求方程为 例1. 求动点到定点 M(x, y,z), ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 M0M = R 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M0 2 2 2 z =  R − x − y 表示上(下)球面 . x − x + y − y + z − z = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = R 2 2 2 2 x + y + z = R

例2求与原点0及M.（2.3，4）的距离之比为1：2的点的全体所组成的曲面方程解：设M(xy,z)是曲面上任一点，I MO根据题意有2MM. Ix?+y+z?2V(x-2) +(y-3) +(z- 4)2116+(y+1) +/ z+所求方程为x+339

解: 设M(x, y,z)是曲面上任一点， , 2 1 | | | | 0 = MM MO 根据题意有 ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z ( ) . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2  =       + + + +      所求方程为 x + y z 例 2 求与原点O及 (2,3,4) M0 的距离之比为1 : 2的 点的全体所组成的曲面方程.

例3. 研究方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面。解:配方得(x-1)+(y+2)2+z2=5此方程表示：球心为 Mo(1,-2,0)半径为√5的球面如下形式的三元二次方程（A+0）说明：A(x? + y? + z2)+ Dx + Ey+ Fz +G = 0都可通过配方研究它的图形.其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹

例3. 研究方程 2 4 0 2 2 2 x + y + z − x + y = 解: 配方得 5 (1, 2, 0), 此方程表示: M0 − 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. ( ) 0 2 2 2 A x + y + z + Dx + Ey + Fz + G = 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. ( 1) ( 2) 5 2 2 2 x − + y + + z =

两个基本问题：（1）已知一曲面作为点的几何轨迹时求曲面方程(2）已知方程时，研究它所表示的几何形状（必要时需作图）作为基本问题（1）的例子，我们讨论旋转曲面：作为基本问题（2）的例子，我们讨论柱面：最后对二次曲面的讨论,我们也看作基本问题(2)的例子

两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 作为基本问题(1)的例子,我们讨论旋转曲面;作为 基本问题(2)的例子,我们讨论柱面;最后对二次曲 面的讨论,我们也看作基本问题(2)的例子

二、旋转曲面定义2。一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面该定直线称为旋转轴.平面曲线称为母线例如：

定义2. 一条平面曲线 二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 .平面曲线称为母线. 例如 :

建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程给定yoz面上曲线C:f(y,z)=0Z若点 Mi(0,J1,z1)EC,则有f(y1,z1)= 0CM,(0, y1,z1)-当绕轴旋转时，该点转到M(x,y,z),M(x,y,z),则有0x? +y? =[y1yz = Z12x故旋转曲面方程为f(±/x2 +y2,z)=0

建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 M(x, y,z) , 当绕 z 轴旋转时, f (y1 ,z1 ) = 0 (0, , ) , 若点 M1 y1 z1 C 给定 yoz 面上曲线 C: (0, , ) 1 1 1 M y z M (x, y,z) 1 2 2 1 z = z , x + y = y 则有 ( , ) 0 2 2 f  x + y z = 则有 该点转到 f (y,z) = 0 o z y x C

思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？C: f(y,z)= 0Z福+f(y, ±Vx? +z?)=0小结：平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ C : f (y,z) = 0 o y x z ( , ) 0 2 2 f y  x + z = 小结：平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三 个变量的平方和的正负平方根