华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.4 常用离散分布

第1页第二章随机变量及其分布$2.4常用离散分布二项分布2.4.1记为 X~b(n,p)“成功"X为n重伯努里试验中的次数np*(1-p)n-kP(X =k)=k=0,1...,n.K当n=1时，称 b(1,p)为 0-1分布4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第1页 §2.4 常用离散分布 2.4.1 二项分布 记为 X ~ b(n, p). ➢ X为n重伯努里试验中“成功”的次数, ( ) (1 ) , 0,1,., . k n k k n n P X k p p k −         = = − = ➢ 当n=1时，称 b(1, p) 为 0-1分布

第2页第二章随机变量及其分布两点分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为01XPk1-pp则称X服从（01）分布或两点分布4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第2页 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为 X k p 0 1− p 1 p 则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布. 两点分布

第3页第二章随机变量及其分布实例200件产品中，有190件合格品，10件不合格品，现从中随机抽取一件，若规定取得不合格品X=取得合格品1019010-200200则随机变量X服从（0一1)分布4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第3页 实例 200件产品中,有190件合格品,10件不合 格品,现从中随机抽取一件, 若规定    = 0, 1, X 取得不合格品, 取得合格品. 则随机变量 X 服从(0 —1)分布. X k p 0 1 200 190 200 10

第4页第二章随机变量及其分布一批产品的合格率为0.8，有放回地抽取4次每次一件，则取得合格品件数X服从二项分布试验次数为 n=4.“成功”即取得合格品的概率为p=0.8所以,X~ b(4,0.8)思考：若Y为不合格品件数，Y～？Y~b(4, 0.2)4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第4页 ➢ 试验次数为 n=4, ➢ “成功”即取得合格品的概率为 p=0.8, ➢ 所以, X ~ b(4, 0.8) 思考： 若 Y 为不合格品件数，Y ？ Y ~ b(4, 0.2) 一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布

第5页第二章随机变量及其分布二项分布是一种常用的离散分布，臂如服从二项分布b(10,p)检查10件产品，10件产品中不合格品的个数X服从二项分布b(50,p)调查50个人，50个人中患色盲的人数Y射击5次.5次中命中次数Z服从二项分布b(50,p）4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第5页 服从二项分布b(10,p) 服从二项分布b(50,p) 服从二项分布b(50,p)

第6页第二章随机变量及其分布例2.4.1设X~ b(2, p) ,Y~ b(4,p) 已知 P(X≥1)=8/9，求P(Y≥1)解由 P(X≥1)=8/9 ,知 P(X=0)= 1/9所以 1/ 9 = P(X=0) =(1-p)2,从而解得：p=2/3P(Y21) = 1- P(Y=0) = 1- (1-p)4 = 80/814 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第6页 例2.4.1 设X ~ b(2, p)， Y ~ b(4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1). 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. P(Y1) 所以 1/ 9 = P(X=0) =(1−p) 2 ， 从而解得: p = 2/3. = 1- (1−p) 4 = 80/81. 解: = 1− P(Y=0)

第二章第7页随机变量及其分布二项分布的图形0.2n=20P=0.2200:p0.1LOLC1820500.020.04100D=4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第7页 二项分布的图形

第8页第二章随机变量及其分布例4有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内，出事故的概率为0.001在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？解设1000辆车通过出事故的次数为X，则X ~b(1000,0.001),故所求概率为PX≥2)=1-P(X=0-P(X=1)1000=1-0.99910000.001.0.99999 ~ 0.2642411np →a(n→+o)泊松分布4April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第8页 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每 辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.001, 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故 的次数不小于2的概率是多少? X ~ b(1000, 0.001),0.001 0.999 0.2642411 1 1000 1 0.9991000 999            = − − 设 1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 解 例4 故所求概率为 P{X  2} = 1 − P{X = 0} − P{X = 1} 二项分布 泊松分布 np →  (n → +)

第二章第9页随机变量及其分布2.4.2泊松分布若随机变量X的概率分布为P(X =k)=k = 0, 1, 2,k!则称X服从参数为的泊松分布记为 X~ P(2)4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第9页 若随机变量 X 的概率分布为 ( ) , 0, 1, 2, ! k P X k e k k  − = = = LL 则称 X 服从参数为 的泊松分布, 记为 X ~ P(). 2.4.2 泊松分布

第10页第二章随机变量及其分布泊松分布的图形P(X-K)P(X=k)0.30.31=0.61=29.20.20.13579155O13371P(X=k)P(X=k)0.30.31=141=60.20.20.135791357911131511131514April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第10页 泊松分布的图形