《数学分析》课程教学课件（讲稿）换元积分与分部积分

§2换元积分法与分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算，相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式，不定积分有换元积分法和分 部积分法。 一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法 前页 后页 返回

§2 换元积分法与分部积分法 一 、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算, 相应 部积分法. 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 于复合函数求导数的链式法则和乘法

一、第一换元积分法 定理8.4（第一换元积分法） 设g(w)在Ia,B]上有定义，且g(u)du=G(0)+C. 又u=p(x)在a,b]上可导，且a≤p(x)≤B,x∈[a,b小 则」g(ox)p'(x)dr=g(udu =G()+C=G(p(x)+C.(1) 证因为dG(p(x)=G'(p(x)px)=go()9'(. dx 所以()式成立 前页

定理8.4 (第一换元积分法) 设 g (u) 在 [,  ]上有定义，    且 g(u)du G(u) C. 又u  (x)在[a,b]上可导，且  (x)   , x [a,b]. 则     g((x)) (x)dx g(u)du  G(u)  C G((x))  C. (1) 证    d ( ( )) ( ( )) ( ) d G x G x x x 因为     g((x))(x). 一 、第一换元积分法 所以(1)式成立

第一换元积分法亦称为凑微分法，即 ∫g(p()p'(x)dr=∫g(p(x)dp(c)=G(p(x)+C, 其中G(w)=g(u).常见的凑微分形式有 (1)adx =d(ax); (2)dx=d(x+a); 同rr-a+de方④cos dx=d(si): ()⑤sinxdx=d(-cosx;(⑥dx=dlnx月 (7)sec'xdx=d(tanx);(8)+x dx =d(arctan x)

第一换元积分法亦称为凑微分法, 即       g((x)) (x)dx g((x))d(x) G((x)) C, (1) adx  d(ax); (2) dx  d( x  a); 1 1 (3) d d( ); 1 x x x       (4) cos xdx  d(sin x); (5) sin xdx  d(cos x); 1 (6) dx d(ln x ); x  2 (7) sec xdx  d(tan x); 2 d (8) d(arctan ). 1 x x x   其中G(u)  g(u). 常见的凑微分形式有

dx (a>0) 解 arctan~+C. L 前过 后页

例1 ( 0). d 2 2    a a x x 求 解                  2 2 2 1 d d 1 a x a x a x a x 2 1 d 1 u a u    u C a  arctan  1 arctan . 1 C a x a  

2求 dx (a≠0). 解1n"。4a 号 x+a 2xal 1Inx-a +C, 2ax+a 前 后页 返回

例2 ( 0). d 2 2    a x a x 求 解             2 2  d 1 1 1 d 2 x x x a a x a x a 1 d( ) 1 d( ) 2 2 x a x a a x a a x a         ln | | 2 1 ln | | 2 1 x a a x a a     ln . 2 1 C x a x a a    

例3求x1-x2dr. 解小ri-rdr=JL-）ae3) =20-x)）3d-x2) -)c -2)G 前过 后页

例3 1 d . 2 x x x  求  解   1 2 2 2 2 1 1 d 1 d( ) 2 x  x x   x x       1 2 2 2 1 1 d 1 2    x  x    3 2 2 1 2 1 2 3     x  C   3 2 2 1 1 . 3    x  C

例4求∫sin3xdc. 解∫sin3xdr=∫sin2'xsin xdx =-∫(1-cos2x)dcos.x 1 -csx+cx+C. 解jj9=narc 前 后页 返回

解 3 2 sin xdx  sin xsin xdx       2 (1 cos x)dcos x 1 3 cos cos . 3   x  x  C 例5 . ln d  x x x 求 解 d d(ln ) ln ln x x x x x     ln ln x  C. 例4 sin d . 3  求 x x

例6求∫secxdx. 解（解达-一)c-0- +C. 解法小feed=e sta)d secx+tanx -j4-nceanyC 前灵

1 1 sin ln . 2 1 sin x C x     (解法二) sec (sec tan ) sec d d sec tan x x x x x x x x          x x x x sec tan d(sec tan )  ln |sec x  tan x | C. 解 (解法一)    2 d(sin ) 1 sin x x  sec xdx   2 cos d cos x x x 例6 sec d .  求 x x

二、第二换元积分法 定理8.5（第二换元积分法） 若g(uw)在[a,]上有定义，u=p(x)在a,b]上可导， p'(x)≠0，且g(p(x)p'(x)dc=F(x)+C, 则 ∫go)du=F(p'(u)+C. (2) 证在p'(x)≠0的条件下，必有p'(x)>0,xe[a,b] 或p'(x)<0,x∈a,b小.因此u=p(x)是严格单调 函数，从而u=p(x)存在反函数x=p(u),且 前页

定理8.5 (第二换元积分法) 若 g(u) 在 [,  ]上有定义, u  (x)在[a,b]上可导,     1 则 g(u)du F( (u)) C. (2) 证 在(x)  0的条件下, 必有 (x)  0 , x [a,b] 或 (x)  0, x [a,b]. 因此 u  (x)是严格单调 1 u (x) x  (u),  函数,从而  存在反函数  且 二、第二换元积分法 ( ( )) ( )d ( ) ,  (x)  0, 且 g  x  x x  F x  C

dx 1 du (x)x-o1( 于是是Fow)=rx p'(x) 8o(x)0w)1 p'(x) =g(u), 所以(2)式成立 第二类换元积分法常用在f(a2-x2),f(2+x2), f(x-)等类型的不定积分上，对此可分别设 x=asint,x=atant,x=asect. 前页

1 ( ( )) ( ) ( ), ( ) g x x g u x         f x  a 2 2 ( ) 等类型的不定积分上, 对此可分别设 x  asint, x  a tant, x  asec t. ( ) 1 ( ( )) ( ) d d 1 x F u F x x       于是  1 ( ) d 1 . d ( ) x u x u x       第二类换元积分法常用在 ( ), 2 2 f a  x ( ), 2 2 f a  x 所以(2)式成立