《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分性质

§4定积分的性质 本节将讨论定积分的性质，包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理，这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具. 一、定积分的性质 二、积分中值定理 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §4 定积分的性质 一、定积分的性质 本节将讨论定积分的性质, 包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理, 这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具. 二、积分中值定理 返回

一、定积分的性质 性质1若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf 在a,b上也可积，且∫kfx)dx=kfx)dx 证记J=∫心fx)dx.由f在a,上可积，故 e>0,36>0,当T<6时，对一切5∈x-,x, 2n山- 从而 前页 后页 返回

前页 后页 返回 [ , ] ( )d ( )d . b b a a 在 上也可积，且 a b k f x x k f x x =   证 ( )d . b a 记 J f x x =  由 在 上可积 故 f a b [ , ] , 一、定积分的性质 1 0, 0, [ , ], T x x i i i           当 时,对一切 − 1 ( )Δ . 1 n i i i f x J k   = −  +  从而 性质1 若 f 在 [ a,b ] 上可积，k 为常数, 则 k f

豆6a-制A空6a- 因此f在a,1可积，且fx)dr=kfx)d 性质2若f,g在a,b]上可积，则f±g在[a,b上 可积，且f)±g(x)de=f(x)dr±gx)dc. 证记，=∫fx)dx,J,=∫gx)dx.于是e>0, 36>0,当T<6时，V5∈x1,x,i=1,2,.,n, 前页 返回

前页 后页 返回 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i k f x kJ k f x J   = =   − = − 因此 kf a b 在[ , ] , 可积 ( )d ( )d .   = ba ba 且 kf x x k f x x 性质 2 若 在 上可积 f g a b , [ , ] , 则 在 上 f g a b  [ , ] 可积, 且 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x  =     证 1 2 ( )d , ( )d . b b a a J f x x J g x x = =    记 于是 0,   1 0, [ , ], 1,2, , , T x x i n i i i         = 当 时， − . 1 k k    +

含-小2含-2 从而 2Gg传1-U+) 2传心-8- 22 因此，f士g在[a,b]上可积，且 前页 返回

前页 后页 返回 1 1 ( )Δ , 2 n i i i f x J   =  −  2 1 ( )Δ . 2 n i i i g x J   =  −  从而 1 2 1 [ ( ) ( ) ]Δ ( ) n i i i i f g x J J   =   −  1 2 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i f x J g x J   = =  − + −   . 2 2    + =  因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且

[心(fx)±gex)dc=心f)d±gx)dc. 性质3若f,g在[a,b]上可积，则fg在[a,b]上 也可积 证因f,g在[a,b1上可积，故在[a,b1上都有界， 即3M>0,x∈a,b],f(x)≤M,g(x)≤M, Ve>0存在分割T了，使习心<：又存在分 割T使∑a2M 前页

前页 后页 返回 性质3 若 f g a b f g a b , [ , ] [ , ] 在 上可积，则 在 上 证 因 在 上可积，故在 上都有界, f g a b a b , [ , ] [ , ] 即       M x a b f x M g x M 0, [ , ], ( ) , ( ) . 0, , Δ ; 2 f i i T T x M    存在分割 使 又存在分       Δ . 2 g i i T T x M  割 ，使      ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x  =     也可积

令T=T'+T"(T表示把T'与T"的所有分割点合 并而成的新分割)，则 =sup (f(x)g(x)-f(x)g(x")x,x"A} ≤sup{g(x)f(x)-f(x) +fx)gx)-gx"x,x"e△} ≤Mo,+Mo. 于是∑Ac≤M∑A+M∑A ≤M∑Ax,+M∑oAx 前页 返回

前页 后页 返回 令T = T + T ( T T T 表示把   与 的所有分割点合 并而成的新分割 ), 则 sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,  Δ  fg i i  = −  f x g x f x g x x x        − sup ( ) ( ) ( )  g x f x f x    + −  f x g x g x x x ( ) ( ) ( ) ,      Δi . g i f  Mi + M 于是    +  T i g i T i f i T i fg i x M  x M  x       +  T i g i T i f M i x M  x

0,3[，c与c,b]上分割T'与T",使得 前页

前页 后页 返回 . 2 2     + = M M M M f a c c b 在 与 上都可积. 此时且有 [ , ] [ , ] ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = +        0, [ , ] [ , ] , a c c b T T 与 上分割 与 使得   因此 f g 在 [ a, b] 上可积. 性质4 f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b), 证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则

Σai∑oa0,3T, 使∑o,△x:<&.在T上加入分点c得到新的分割T 由§3习题第1题，知道 返回

前页 后页 返回 . 2 , 2           T i i T ixi x 令 它是 的一个分割 T T T a b = + , [ , ] ,  =   +   .  T i i T i i T ixi x x (必要性) 已知 在 上可积 则 f a b T [ , ] , 0, ,     因此, f 在 [a, b] 上可积. Δ . i i T 使   x  在T上加入分点 c 得到新的分割 T .  由§3习题第1题, 知道

∑oArs∑0,4y<&, 分割T*在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成对 [a,c和c,b的分割，记为T'和T”,则 ∑0￥≤∑@A<6,∑o4≤∑oAr<&. 因此，f在a,c与c,b上都可积. 若∫在[o,b小上可积，由必要性证明，若分割T使点 c为其中一个分点，则T在[a,c的部分T'构成 对[a,c的分割，在c,b]的部分T"构成对[c,b]的 前页

前页 后页 返回 Δ Δ . i i i i T T    x x       分割 在 和 上的部分 分别构成对 T a c c b [ , ] [ , ] ,  Δ Δ , Δ Δ . i i i i i i i i T T       x x x x                   c T a c T 为其中一个分点, [ , ] 则 在 的部分  构成 对 的分割,在 的部分 构成对 的 [ , ] [ , ] [ , ] a c c b T c b  因此，f 在 [a, c] 与 [c, b]上都可积. 若 f 在 [a, b] 上可积,由必要性证明,若分割 T 使点 [ , ] [ , ] , a c c b T T 和 的分割,记为 和 则  

分割，且∑f(5)c,=∑f(5)Ax+∑f(5)Ac” 令T→0，则T→0，T→0，即得 ∫fe)dr=∫ife)dr+fxde. 注若规定a>b时∫心fx)dr=-∫fx)dk,u=b时 f(x)dc=0,则对a,b,c的任何大小顺序，恒有 ∫fxue=f(dx+jfx)de 性质5若f在a,b止非负、可积，则。f(x)dr≥0. 证若J=f(x)dx0,6>0T<6, 前 返回

前页 后页 返回 ( )Δ ( )Δ ( )Δ . , i i i i i i T T T 分割 且 f x f x f x         = +  令 则 即得 T T T → → → 0, 0, 0,   ( )d ( )d ( )d . b c b a a c f x x f x x f x x = +    ( )d ( )d ( )d . b c b a a c f x x f x x f x x = +    性质5 [ , ] , ( ) d 0. b a 若f a b f x x 在 上非负、可积 则   证 ( ) d 0. b a 若 J f x x =   对 −     J T 0, 0, ,   注 若规定 时 a b  ( )d ( )d , b a a b f x x f x x = −   a b = 时 则对 的任何大小顺序 恒有 a b c , , , ( )d 0, b a f x x = 