《数学分析》课程教学课件（讲稿）利用定积分求平面图形面积

§1平面图形的面积 本节介绍用定积分计算平面图形在 各种表示形式下的面积 一、直角坐标方程表示的平面图形的 面积 二、参数方程表示的平面图形的面积 三、极坐标表示的平面图形的面积 前页 返回

前页 后页 返回 §1 平面图形的面积 本节介绍用定积分计算平面图形在 一、直角坐标方程表示的平面图形的 二、参数方程表示的平面图形的面积 三、极坐标表示的平面图形的面积 面积 各种表示形式下的面积. 返回

定积分的元素法 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线y1 y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=M、 ol a b x x=b所围成。 A=∫fx)d 前页 边

前页 后页 返回 回顾 曲边梯形求面积的问题  = b a A f ( x)dx 定积分的元素法 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x)  0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)

面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间a,b]分成个长度为△x,的小区间 相应的曲边梯形被分为1个小窄曲边梯形，第 小窄曲边梯形的面积为M4,则A=∑A4: i-1 (2)计算△A,的近似值 △4：≈f(5)△x,5:∈△x (3)求和，得A的近似值A≈∑∫传，)△x,: i=1 前页 返回

前页 后页 返回 面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n 个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 = =  n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i xi A  f ( )  i xi （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A   f x = 

(4)求极限，得A的精确值 A=im)Ax,=f(x)ds 20 面积元素 提示若用△A表示任一小区间 [比，x+△上的窄曲边梯形的面积，忄 y f(x) 则A=∑△A,并取△A≈f(x) 于是A≈∑f(x) o a xx+d5x A=lim∑fx)dc=∫fx)ds. 前顶

前页 后页 返回 a b x y o y = f (x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A =  f x = → lim ( ) 1 0   =  b a f (x)dx 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A  f ( x)dx， 于是A   f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) .  = b a f x dx x x + dx dA 面 积 元 素

当所求量U符合下列条件： (1)U是与一个变量的变化区间a,b]有关 的量； (2)U对于区间[a,b]具有可加性，就是说， 如果把区间，b分成许多部分区间，则U相 应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之 和 (3)部分量△U的近似值可表示为f(5:)△x;: 就可以考虑用定积分来表达这个量J 前页 返回

前页 后页 返回 当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关 的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U

元素法的一般步骤： 1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如为 积分变量，并确定它的变化区间a,b]: 2)设想把区间4，b]分成1个小区间，取其中任 一小区间并记为x,x+x],求出相应于这小区 间的部分量△U的近似值.如果AU能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与 的乘积，就把f(x)欣称为量U的元素且记作 dU,即dU=f(x); 前 边

前页 后页 返回 元素法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, x + dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x 处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU = f ( x)dx；

3)以所求量U的元素f(x)为被积表达式，在 区间a,b上作定积分，得U=f(x)d, 即为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做元素法， 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等. 前 返回

前页 后页 返回 3）以所求量U 的元素 f ( x)dx为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 =  b a U f (x)dx， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．

一、直角坐标方程表示的 平面图形的面积 用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面 积，通常把它化为x型和y型区域上的积分来计算 x型区域：A={(x,y)川f(x)≤y≤f(x),x∈[a,b], 其中fx),(x)是定义在a,b]上的连续函数. y型区域：B={(x,y)川81(y)≤x≤g2(y),y∈[c,d], 其中g1(y),g2(y)是定义在c,d上的连续函数 前顶 返回

前页 后页 返回 1 2 其中 f x f x a b ( ), ( ) [ , ] 是定义在 上的连续函数. x A x y f x y f x x a b 型区域: =    ( , ) | ( ) ( ), [ , ] , 1 2  y B x y g y x g y y c d 型区域: =    ( , ) | ( ) ( ), [ , ] , 1 2  用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面 积,通常把它化为 x y 型和 型区域上的积分来计算. 1 2 其中g y g y c d ( ), ( ) [ , ] 是定义在 上的连续函数. 平面图形的面积 一、直角坐标方程表示的

x型区域A 通过上移 y=f(x)+M y=f(x) A y=f(x)+M≥0} a y=f(x) b七 bx 前页 返回

前页 后页 返回 x A 型区域 通过上移 a b x y O 2 y f x = ( ) 1 y f x = ( ) A x y O a b 2 y f x M = + ( ) 1 y f x M = +  ( ) 0 A

由定积分的几何意义，可知A的面积为 S(A)-(f()+M)dx-[(f(x)+M)dx -['L(x)-f(x)Idx. 同理，y型区域B的面积为 S(B)=∫Ig0)-g0yl. 例1求由抛物线y2-x和x2-8y所围图形4的面积 解 的解为=8 前顶

前页 后页 返回 由定积分的几何意义，可知 A 的面积为 例1 2 2 求由抛物线 y x x y A = = 和 8 . 所围图形 的面积 解   2 1 2 2 1 2 0 4 , . 8 0 2 y x x x x y y y 的解为  = = =  = = =  2 1 ( ) ( ( ) )d ( ( ) )d b b a a S A f x M x f x M x = + − +   2 1 [ ( ) ( )]d . b a = − f x f x x  2 1 ( ) [ ( ) ( )]d . d c S B g y g y y = −  同理,y B 型区域 的面积为