《数学分析》课程教学课件（讲稿）傅里叶级数

§1傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利，但对函数的要求很高（无限次可导）.如果 函数没有这么好的性质，能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢？这就是将要讨论的傅里叶级数，傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用，是又一类重要的级数。 一、三角级数·正交函数系 二、以2p为周期的函数的傅里叶级数 三、收敛定理 前页 后

前页 后页 返回 §1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数. 返回 一、三角级数·正交函数系 三、收敛定理 二、以 为周期的函数的傅里叶级数

一、三角级数·正交函数华 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一 种周期运动.最简单的周期运动，可用正弦函数 y=Asin(wx+j) (1) 来描述.由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动， 其中A为振幅.1为初相角，州为角频率，于是简瑞 嫌动的周朗是T=红.能为复&的周朝选动，则 常常是几个简谐振动

前页 后页 返回 一、三角级数·正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数 来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动, 其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐 振动y 的周期是 较为复杂的周期运动, 则 常常是几个简谐振动

yi=Ak sin(kwx+j),k=1,2,L ,n 的叠加： y=a y=aA sin(kwx+j). (2) k=1 k=1 由子简瑞振动的周朝为T代7 k 2π0，k=1,2,L, w o 所以函数(2)周期为T对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 A+d A,sin(mvx+j). (3) n=1 若级数3)收敛，则它所描述的是更为一般的周期运

前页 后页 返回 由于简谐振动 的周期为 所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 的叠加： 若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运

动现象.对子级数(3)，只须对纶w=1(加果w11可 用州X代换x)的情形.由于 sin(nx+j)=sinj,cosnx+cosj sinnx, 所以 A。+d A sin(nx+jn) =1 A(A sinj cosnx+A cosj sin nx).(39 n=1 记4受A,in画时。aA时.==1,2： 前

前页 后页 返回 动现象. 对于级数(3), 只须讨论 (如果 可 用 代换x )的情形. 由于 所以

则级数(3)可写成 cosnxbsin nx) (4) 2 n=1 它是由三角函数列（也称为三角函数系） 1,cosx,sinx,cos2x,sin 2x,L ,cosnx,sinnx,L (5) 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证，若三角级数(4)收敛，则它的和一定是一 个以2π为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理： 可

前页 后页 返回 它是由三角函数列(也称为三角函数系) 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理: 则级数( )可写成

定理15.1若级数 l+80a,l+b, 2 n=1 收敛，则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛 证对任何实数x,由于 la cosnx+b sinnx fa+b 根据优级数判别法，就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性，先讨论三角函 数系（⑤）的特性.首先容易看出三角级数系（⑤）中所

前页 后页 返回 定理 15.1 若级数 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所

有函数具有共同的周期2π. 其次，在三角函数系（⑤）中，任何两个不相同的函数 的乘积在【-pp上的积分等于零，即 cosuxdx-.sinmxdx-0, (6) 8.cosmxcosnxdx=0 (mn) 6.sinmxsin nxdx=0 (mn),y (7) ò，cosm.x sin n.xdx=0. 而（⑤）中任佰一个函数的平方在【元，业的织分都

前页 后页 返回 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期 的乘积在 上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 上的积分都

不等于零，即 cos'ndx-sinxdx (8) ò21dr=2π 若两个函款J与y在[，b]上可织，且 0((x)r=0 则)与Jy在[M,b]上是正立的，或在[M,b]上具有正 立性.由此三角函数系(4)在【π，π上具有正交性. 或者说⑤)是正交函数系

前页 后页 返回 不等于零, 即 若两个函数 与 在 上可积, 且 则称 与 在 上是正交的, 或在 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系

二、以2D为周期的函数的傅里叶级数 现应用三角函数系（⑤）的正交性来讨论三角级数(4) 的和函散f与级敖(4)的系数40,4n,bn之向的关系. 定理15.2若在[-元，元]上 f()(a,cosnx+b,sinnx) (9) 2 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式： 4,-↓6.f(osmd,a=0.12， (10a) b-1.f()sinnxdx,n=1.2.L (10b) 前

前页 后页 返回 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 之间的关系. 定理15.2 若在[-π,π]上 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 二、以 为周期的函数的傅里叶级数

证的定理条件，函款f在pp]上连续且可织.对 (9)式逐项积分得 f(xx d(cosin nade) = n=] 由关系式(6)知，上式右边括号内的积分都等于零 所以 f(x)dx42a, 2 前项

前页 后页 返回 证 由定理条件, 函数 f 在 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以