《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章课件_6.3复合求导 隐函数求导

第三节 第六章 复合求导 隐品数求导 一元复合函数 y=f(u),u=p(x) dydy du 求导法则 dx du dx 微分法则 dy=f'(u)du=f"(u)o'(x)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第三节 一元复合函数 求导法则 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合求导 隐函数求导 第六章

多元函数复合求导 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 HIGH EDUCATION PRESS

多元函数复合求导 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分

一、多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数u=p(t),v=yW(t)在点t可导，z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=f(p(t),y(t) 在点t可导，且有链式法则 dz Oz du 0z dv dt ou dt ay di 证：设t取增量△t，则相应中间变量 有增量△u,△v, △z= Bu Ar+o(p）(p=>2+(AwP) 8v HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v t t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量△u , △v

△z aAu+2△y+o(p） (p=V(△)2+（△）2) △tO2u△t v△t △t 令△t→0，则有△u→0，△v→0， △udu △v.dv 11 △t dt' △t _di o(p) △t (△t<0时根式前加”-号) dz Oz du Oz dv (全导数公式) dt au di Oy dt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   机动 目录 上页 下页 返回 结束 t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

例1设u=x,x=sn1,y=cost求 dt 解： du Gu dx Ou dy diox dt y di =xcost+x"Inx(-sint) =(sint)cos(cos2t-Insint) HIGH EDUCATION PRESS

例1 设 u x x t y t = = = y , sin , cos 求 du dt 解： du u dx u dy dt x dt y dt   = +   1 cos ln ( sin ) y y yx t x x t − = + − cos 1 2 (sin ) (cos lnsin ) t t t t − = −

说明： 若定理中f(u,v)在点(u,y)偏导数连续减弱为 偏导数存在，则定理结论不一定成立 u v 例如：2=f(4,)= 2+22+20 0 u2+v2=0 u=t,v=t 易知 (0000=0,g 6z (0,0)=/(0,0)=0 但复合函数：=j化，0-号 dz 1 Oz du.Oz dv dt 2 ou dt Ov dt =01+01=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 若定理中 例如: z = f (u, v) = u = t , v = t 易知: 但复合函数 z = f (t, t) 2 1 d d = t z  t v v z t u u z d d d d     +   = 01+ 01= 0 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t = , 0 2 2 2 2 2 +  + u v u v u v 0 , 0 2 2 u + v = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立

推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如，z=f(u,v,1w), u=p(t),V=W(t),w=0(t) dz 0z du Oz dv 0z dw dt Ou di Ov dt'ow dt =f0'+5w+f分o 2)中间变量是多元函数的情形例如， z=f(u,v),u=o(x,y),v=V(x,y) a正a2.u+5.=m+ 8x Ou Ox Bv 8x 0z Oz Ou.Oz.Ov =p3+f3w3 ay Ou ay'Ov Oy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u =  (x, y), v = (x, y) =   x z 11 21 = f   + f   1 2 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u =  (t), v = (t), w = (t)

又如，z=f(x,y),v=W(x,y) 当它们都具有可微条件时，有 of bv 8x Ox Bv Ox =+乃 0z of bv Ov =52 注意： 这里 与1不同 8x 表示固定y对x求导， of 8x 表示固定v对x求导 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

又如, z = f (x,v), v = (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = 与 不同, v 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设z=e“sinv,u=xy,v=x+y,求 Da 0z Ox'Oy 解： 0z0z Ou 0z Ov Ox -Ou Ox "Ov Ox =e“sinv.y+e“cosv.l =e*[y.sin(x+y)+cos(x+)] 8z Oz Bu,8z Ov 1 0y Ou ay'Ov Oy e"sinv .x +e"cosv .1 =ex[x.sin(x+y)+cos(x+y)] HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束

例2. 设 z e sin v, u xy , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解: x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

单选题 1分 ⊙设置 X 1.设z=arctan,x=u+y,y=u-v,则z,+,=(） 2 u-v w-v V-u 7-v u-y +y v-u + HIGH EDUCATION PRESS 提交

1.设 ，则 A B C D 提交 arctan , , x z x u v y u v y = = + = − z z u v + = ( ) 2 2 u v u v − − 2 2 v u u v − − 2 2 u v u v − + 2 2 v u u v − + 单选题 1分