《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章课件_6.5隐函数求导

第5节隐函数的求导方法一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数

第5节 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导方法

本节讨论：1）方程在什么条件下才能确定隐函数例如，方程x2口C口0当C0时，不能确定隐函数：2)在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微性及求导方法问题

本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题

一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1．设函数 F(x,y)在点 P(xo,yo)的某一邻域内满足①具有连续的偏导数：@ F(xo, yo) O;③ Fy(xo, yo) 0则方程F(x,y)O 在点xo的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数y=f(x)，满足条件yo口f(xo），并有连续导数di（隐函数求导公式）dx定理证明从略，仅就求导公式推导如下：

一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 导数

设f(x）为方程F(x）O所确定的隐函数，则F(x,f(x)o两边对x求导Hdy10ydx在(xo，yo)的某邻域内F，口O品dxF

两边对 x 求导 在 的某邻域内 则

若F（x，y）的二阶偏导数也都连续，则还有FEK二阶导数：dl二一dxxF.F.F..FF..FF.F17V17xryxixF2FaFy?2FayFFy, Fy,F?

若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 二阶导数 : 则还有

例1.验证方程sinyexyl0在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数y口f（x），并求dyd?ydxx 0"dx2|x0解：令F(x,y）sinyexxyl,则①F,e*y,F,cosyx连续,② F(0,0) 0,3 F,(0,0)1 0由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数f(x），且

例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 , 由 定理1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 并求

HdyH001二口口DO-F.x0dxxocosyxxo,yOd?ydx2x 0口口dxcosyxxo,yo,yly(cosyx)(ey(sinyyl)x口01(cosyx)2yOyB

导数的另一求法一利用隐函数求导sinyexylo,yy(x)中x口o两边对x求导口y口口cosyy[eUyxyocosyx(O,O)两边再对x求导001sinyy cosyyeyyxyo令x=0，注意此时yo，yd?ydx2/x o

两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 导数的另一求法 — 利用隐函数求导

定理2。若函数F(x,y,z)满足①在点 P(xo,yo,zo)的某邻域内具有连续偏导数@ F(xo, yo,zo) o③ F,(xo, yo,zo) 0则方程Fx,y,z）口O在点xo，yo）某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数z=f(x，y)，满足zo□f(xo，yo）并有连续偏导数HF品口口FFXDy，定理证明从略，仅就求导公式推导如下

定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确

设zf(xy）是方程F(xy)O所确定的隐函数，则F(x,y, f(x,y)) o两边对x求偏导FF口O在(xo,Jo,zo)的某邻域内F,□O上FOxC同样可得江

两边对 x 求偏导 同样可得 则