华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 3.5 条件分布与条件期望

第三章多维随机变量及其分布 第1页 §3.5条件分布与条件期望 对二维随机变量X,), >在给定取某个值的条件下，的分布 在给定X取某个值的条件下，的分布 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第1页 对二维随机变量(X, Y), ➢ 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; ➢ 在给定X取某个值的条件下, Y的分布. §3.5 条件分布与条件期望

第三章多维随机变量及其分布 第2页 3.5.1条件分布 ()条件分布列： P=X=y=y)是 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第2页 (1) 条件分布列： 3.5.1 条件分布 | ( | ) ij i j i j j p P X x Y y p p• = = = =

第三章多维随机变量及其分布 第3页 (2)连续型随机变量的条件密度函数： 定义设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 p(x,y),X,Y)关于Y的边缘概率密度为py(y). 若对于固定的y,pyy)>0,则称 P(,y) 为在Y=y Pr(y) 的条件下X的条件概率密度，记为 p(xly)=2(v pr(y) 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第3页 定义 (2)连续型随机变量的条件密度函数： 设二维随机变量 (𝑋, 𝑌) 的概率密度为 𝑝 𝑥, 𝑦 , 𝑋, 𝑌 关于 𝑌 的边缘概率密度为𝑝𝑌 𝑦 . 若对于固定的 𝑦, 𝑝𝑌(𝑦) > 0, 则称 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑝𝑌(𝑦) 为在𝑌 = 𝑦 的条件下 𝑋 的条件概率密度,记为 𝑝(𝑥ȁ𝑦) = 𝑝(𝑥,𝑦) 𝑝𝑌(𝑦)

第三章多维随机变量及其分布 第4页 (3)条件分布函数： Σ P(X=xilY=y) F(xly)= X≤ uoa-r哥 p(ty) 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第4页 (3) 条件分布函数： 𝐹(𝑥ȁ𝑦) = ෍ 𝑥𝑖≤𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ȁ𝑌 = 𝑦) න −∞ 𝑥 𝑝(𝑡ȁ𝑦)𝑑𝑡 = න −∞ 𝑥 𝑝(𝑡, 𝑦) 𝑝(𝑦) d𝑡

第三章多维随机变量及其分布 第5页 注意 p(xly)= p(x,y) →p(x,y)=p(xly)pr) Pr(y) 联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下 边缘分布 联合分布 联合分布 条件分布 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第5页 注意 联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下 联合分布 边缘分布 条件分布 联合分布 𝑝(𝑥ȁ𝑦) = 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑝𝑌(𝑦) 𝑝(𝑥, 𝑦)= 𝑝(𝑥ȁ𝑦)𝑝𝑌(𝑦)

第三章多维随机变量及其分布 第6页 例 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量(X,Y)具有概率密度 p(x,y)= (x,y)EG, 0 其它 设X,Y)在圆域x2+y2≤1上服从均匀分布，求条 件概率密度p(xly). 解 由题意知随机变量(X,Y)的概率密度为 1/m,x2+y2≤1 p(x,y)= 0, 其它 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第6页 设 𝐺 是平面上的有界区域,其面积为 𝐴. 若二 维随机变量 (𝑋,𝑌) 具有概率密度 𝑝(𝑥, 𝑦) = ൞ 1 𝐴 , (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐺, 0, 其它. 设 (𝑋, 𝑌) 在圆域 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1 上服从均匀分布,求条 件概率密度 𝑝(𝑥ȁ𝑦). 解 由题意知随机变量 (𝑋,𝑌) 的概率密度为 𝑝(𝑥, 𝑦) = ቐ 1Τπ , 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1, 0, 其它, 例

第三章多维随机变量及其分布 第7页 又知边缘概率密度为 r0)= p(xy)= 1/m,x2+y2≤1， p(x,y)dx 0, 其它， 0. 其他 于是当-1之y<1时，有 1/m p(xly)= (2/m)V1-y2 2a-贡-1-≤xsV1- 0, 其他. 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第7页 又知边缘概率密度为 𝑝𝑌(𝑦) = න −∞ ∞ 𝑝(𝑥, 𝑦) d 𝑥 = 1 π න − 1−𝑦2 1−𝑦2 d 𝑥 = 2 π 1 − 𝑦 2 , −1 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0, 其他. 于是当 − 1 < 𝑦 < 1 时, 有 𝑝(𝑥ȁ𝑦) = 1Τπ (2Τπ) 1 − 𝑦 2 = 1 2 1 − 𝑦 2 , − 1 − 𝑦 2 ≤ 𝑥 ≤ 1 − 𝑦 2 , 0, 其他. 𝑝(𝑥, 𝑦) = ቐ 1Τπ , 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1, 0, 其它

第三章多维随机变量及其分布 第8页 a 3.5.2 条件数学期望 定义3.5.4 ΣxP(X=xY=) EXIY-) ]p(xlydx 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第8页 3.5.2 条件数学期望 定义 3.5.4 ( | ) ( | ) ( | )d i i i x P X x Y y E X Y y xp x y x  −  = =  = =     

第三章多维随机变量及其分布 第9页 注意点 EXWY=y)是y的函数 所以记gy)=E(XMY=y) 进一步记g(Y)=E(MY) 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第9页 E(X| Y=y) 是 y 的函数. 注 意 点 所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y)

第三章多维随机变量及其分布 第10页 重期望公式 定理35.1 E(X)=E(E(X Y) 例3.5.10（随机个随机变量和的数学期望）设X,X2,.为一列独立同分 布的随机变量，随机变量N只取正整数值，且N与{X,独立，证明 E(∑X)=E(X,)E(N). 4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第10页 重期望公式 定理 3.5.1 E X E E X Y ( ) ( ( | )) =