华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 参数估计 §6.1 点估计的几种方法

第六章参数估计 第1页 第六章参数估计 §6.1点估计的几种方法 $6.2点估计的评价标准 §6.3最小方差无偏估计 §6.4 贝叶斯估计 §6.5区间估计 4 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第1页 第六章 参数估计 §6.1 点估计的几种方法 §6.2 点估计的评价标准 §6.3 最小方差无偏估计 §6.4 贝叶斯估计 §6.5 区间估计

第六章参数估计 第2页 。一般常用0表示参数，参数0所有可能取值 组成的集合称为参数空间，常用⊙表示。参 数估计问题就是根据样本对上述各种未知参 数作出估计。 ·参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。 4 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第2页 • 一般常用 表示参数，参数 所有可能取值 组成的集合称为参数空间，常用表示。参 数估计问题就是根据样本对上述各种未知参 数作出估计。 • 参数估计的形式有两种：点估计与区间估计

第六章参数估计 第3页 。设x,x2,xn是来自总体X的一个样本，我 们用一个统计量0=(x,x,) 的取值作 为0的估计值，0称为0的点估计（量），简 称估计。在这里如何构造统计量©并没有明 确的规定，只要它满足一定的合理性即可。 这就涉及到两个问题： >其三是如何给出估计，即估计的方法问题： >其二是如何对不同的估计进行评价，即估 计的好坏判断标准。 4 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第3页 • 设 x1 , x2 ,., xn 是来自总体 X 的一个样本，我 们用一个统计量 的取值作 为 的估计值， 称为 的点估计（量），简 称估计。在这里如何构造统计量 并没有明 确的规定，只要它满足一定的合理性即可。 这就涉及到两个问题： 1 ˆ ˆ ( , , ) n   = x x ˆ  ˆ  ➢ 其一 是如何给出估计，即估计的方法问题； ➢ 其二 是如何对不同的估计进行评价，即估 计的好坏判断标准

第六章参数估计 第4页 S6.1点估计的几种方法 6.1.1替换原理和矩法估计 一、 矩法估计 替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的 总体矩及其函数，譬如： 用样本均值估计总体均值E),即E(X)=x; 用样本方差估计总体方差Var(X),即Var(X)=s 4 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第4页 §6.1 点估计的几种方法 6.1.1 替换原理和矩法估计 一、矩法估计 替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的 总体矩及其函数，譬如： • 用样本均值估计总体均值E(X)，即 ； • 用样本方差估计总体方差Var(X)，即 ˆ E X x ( ) = 2 Var( ) ˆ X s = n

第六章参数估计 第5页 例6.11对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油 的行驶里程km),观测数据如下： 29.827.628.327.930.128.7 29.9 28.0 27.928.728.427.229.528.528.0 30.0 29.129.829.626.9 经计算有 x=28.695, s2=0.9185, ms=28.6 由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别 为：28.695,0.9185和28.6。 矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体 分布，其理论基础是格里纹科定理。 4 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第5页 例6.1.1 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油 的行驶里程(km)，观测数据如下： 29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9 经计算有 由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别 为: 28.695, 0.9185 和 28.6。 矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体 分布，其理论基础是格里纹科定理。 2 0.5 28.695, 0.9185, 28.6 n x s m = = =

概率函数Px,)已知时未知参数的矩法估计 设X为连续型随机变量，其概率密度为 p(x8,02,.,09),或X为离散型随机变量， 其分布律为P{X=x}=p(x,0,02,.,0)月 其中0,02，.，0为待估参数 若X,X2,Xn为来自X的样本， 假设总体X的前k阶矩存在 且均为0,0，.，0的函数，即

, , , 其中 为待估参数 其分布律为 或 为离散型随机变量 设 为连续型随机变量 其概率密度为 k k k P X x p x p x X X          , , , { } ( ; , , , ), ( ; , , , ), 1 2 1 2 1 2    = = 若X1 ,X2 ,  ,Xn为来自X 的样本， 假设总体X的前k阶矩存在, , , , , 且均为1  2   k 的函数 即 概率函数P(x,θ)已知时未知参数的矩法估计

4=Bx=xf0x80.02.,0e)dx (X为连续型) 或4=E(X=xp(x;0,02,.,0k), (X为离散型) XERX 其中Rx是x可能取值的范围1=1,2，k 因为样本矩4=，∑X依概率收敛于相应的 i-1 总体矩4(I=1,2,k), 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数

𝜇𝑙 = 𝐸(𝑋 𝑙 ) = න −∞ +∞ 𝑥 𝑙𝑓(𝑥; 𝜃1 , 𝜃2 , ⋯ ,𝜃𝑘 )d𝑥 (X为连续型) 或 𝜇𝑙 = 𝐸(𝑋 𝑙 ) = ෍ 𝑥∈𝑅𝑋 𝑥 𝑙 𝑝(𝑥; 𝜃1 , 𝜃2 , ⋯ , 𝜃𝑘 ), (X为离散型) 其中RX 是x可能取值的范围, l = 1,2,  ,k ( 1, 2, , ), 1 1 l k X n A l n i l l i =  = = 总体矩  因为样本矩 依概率收敛于相应的 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数

=(89) 矩估计法的定义 A=八=14(06.92) =e.9) 用样本矩来估计总体矩，用样本矩的连续函 (心.0) 数来估计总体矩的连续函数，这种估计法称为矩 火 估计法. 8=9(从川e 90(从) 矩估计法的具体做法：令4=A,1=1,2,k. 4H(A人，4这是一个包含k个未知参数日，品2，0，的方程组 解出其中日1,02，.，0g: 8=8(4,A.A用方程组的解A,A,0分别作为8,8，0的 8,AA,A估计量，这个估计量称为矩估计量. '8(A,人·矩估计量的观察值称为矩估计值

矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函 数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩 估计法. 矩估计法的具体做法: A , l 1,2, ,k. 令 l = l =  , , , , 这是一个包含k个未知参数1  2   k的方程组 , , , . 解出其中1  2   k , . , , , ˆ , , ˆ , ˆ 1 2 1 2 估计量 这个估计量称为矩估计量 用方程组的解    k 分别作为    k 的 矩估计量的观察值称为矩估计值

例2设总体X服从参数为入（未知）的泊松分布， X,X2,Xn是来自总体X的样本试求2的 矩估计量。10少=⊙“，③余x 例3 设总体X服从参数为入（未知）的指数分布， X,X2,Xn是来自总体X的样本，试求入的 矩估计量

例2 设总体 X 服从参数为 F  （未知）的泊松分布， , , , , X1 X2  Xn是来自总体X的样本 试求  的 矩估计量。 设总体 X 服从参数为 , , , , X1 X2  Xn是来自总体X的样本 试求 的 矩估计量。 例3  （未知）的指数分布， 

第六章参数估计 第10页 例612设总体服从指数分布，由于EX=1/几， 即入=1/EX,故2的矩法估计为 元=1/ 另外，由于VarW=lVX,其反函数为A=1,War西 因此， 从替换原理来看，的矩法估计也可取为 元=1/s s为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法 估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知 参数的估计。 4 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第10页 例6.1.2 设总体服从指数分布，由于EX=1/， 即 =1/ EX，故 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/ 2，其反函数为 因此， 从替换原理来看，的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法 估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知 参数的估计。 ˆ  =1/ x  =1/ Var( ) X 1 ˆ  =1/s