《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章课件_6.2偏导数

偏导数我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义

偏 导 数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了 该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多 元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多 元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要 求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对 其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依 然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概 念，对此给出如下定义

一、偏导数的定义及其计算法定义设函数z= f(x,y)在点(xo,Jo)的某一邻域内有定义，当y固定在y.而x在x.处有增量△x时，相应地函数有增量f(xo + △x,yo) - f(xo,yo),f(xo + △x, yo)- f(xo,yo)如果lim存在，则称AxAr-0此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,y)处对 x的偏导数，记为Ozaf，zxx=xo或f(xo,yo).Ox x=xoax x=xoy=yoy=yo=Vo

定义 设函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当 y固定在 0 y 而 x在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏导数，记为 0 0 y y x x x z =  =  ， 0 0 y y x x x f =  =  ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x . 一、偏导数的定义及其计算法

同理可定义函数z=f(x,y)在点(xo,y)处对y的偏导数，为f(xo,yo + Ay)- f(xo, yo)limAyAy-→>0Oz.af记为， Zy x=x或f,(Xo,Jo)ayayx=Xox=xoy=yoy=yoy=yo如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x，J)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,)对自变量x的偏导函数oz, af, z,或f,(x,y).记作axax

同理可定义函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z =  =  ， 0 0 y y y x x f =  =  ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 如果函数 z = f (x, y)在区域D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、 y的函数，它就称为函数z = f (x, y)对 自变量x的偏导函数， 记作 x z   ， x f   ， x z 或 f (x, y) x

f(x+h,y)- f(x,y)f.(x, y) = limhh-→>0同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏Oz., %, z,或f,(x,y).导函数，记作ayOyf(x,y+h)- f(x,y)f,(x, J) = limhh->0

h f x h y f x y f x y h x ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 + − = → 同理可以定义函数 z = f (x, y)对自变量 y的偏 导函数，记作 y z   ， y f   ， y z 或 f (x, y) y . h f x y h f x y f x y h y ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 + − = →

偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法af求时把y视为常数而对x求导axaf求时把x视为常数而对 y求导ay这仍然是一元函数求导问题

偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的 偏导数并不需要新的方法 求 时把 y 视为常数而对 x 求导 x f   求 时把 x视为常数而对 y 求导 y f   这仍然是一元函数求导问题

偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u= f(x,y,z)在 (x,y,z) 处f(x+ 4x, y,z)- f(x, y,z)f.(x,y,z) = lim4x4x-→>0f(x, y+4y,z) - f(x, y,z)f,(x, y,z) = lim4y4y-→0f(x,y,z+Az)- f(x,y,z)f.(x,y,z) = lim4z4z->0

如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x    + − = → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y    + − = → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z    + − = → 偏导数的概念可以推广到二元以上函数

一般地，设W= f(Xi,X2,..,xn)Owf(x,.",x, + Ax,,..,xn)- f(xi,".,X,,...,xn)=limax;4x;4x;0(i =1,2,......,n)

一般地，设 1 2 ( , , , ) w f x x x = n i i i n i n x i x f x x x x f x x x x w i    ( , , , , ) ( , , , , ) lim 1 1 0  +  −   =   → (i = 1,2,  ,n)

例 1求 z =x2+3xv+ 在点(1,2) 处的偏导数Oz = 2x+3y;Oz解=3x +2y .axayOz=2×1+3×2=8,x=1axy=2Oz3×1+2×2=7.X=1=ayy=2例2设z=x(x>0,x±1)x oz1 z=2z.求证y axIn x ayOzOz证x'Inx,uraxay

例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3 y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 32 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7 . 例 2 设 y z = x ( x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y

xOz1 oz1xInx2y ax In x yInxV=x*+x* =2z.原结论成立，Oz.Oz.x例3求设z = arcsinayax+yr2Oz.1x解ax21x+yy(y=l)V(x"+y)3lyllylx?+y2

y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立． 例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z   ， y z   . 解 =   x z          +  + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y +  + = ( | |) 2 y = y . | | 2 2 x y y + =

OzXayx(-xy)sgnIyl(x2+ y)3yazE0不存在ayx+01y=0例4i已知理想气体的状态方程pV=RTaTavop（R为常数），求证：avaTap

=   y z          +  + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在． 例 4 已知理想气体的状态方程pV = RT （R为常数），求证： = −1         p T T V V p