《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章课件_8.2数项级数及审敛法

第二节常数项级数的审敛法、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛HIGH EDUCATION PRESS下页返回机动录上贝结束

二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、正项级数及其审敛法浦un为正项级数若un O,则称n部分和序列S定理1.正项级数二un收敛二n(n□l,2,□)有界若un收敛，则Sn收敛，故有界证：“>"n2CCS,［单调递增口O.部分和数列un1Sn［有界，故Sn［收敛，从而un也收敛又已知nHIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

一、正项级数及其审敛法 若 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

福设定理2（比较审敛法）Vn是两个正项级数un?nn且存在Nz2,对一切nN,有unkvn（常数k>0),则有(1)若强级数v,收敛，则弱级数un也收敛;nln口口(2)若弱级数un发散，则强级数vn也发散nnl证：因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨设对一切nz?,都有unkvn，令S和口，分别表示弱级数和强级数的部分和，则有HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束

S,kn(1)若强级数vn收敛，则有lim二nn因此对一切nZ，有 Snk由定理1可知,弱级数un也收敛n■un发散，则有lim Sn(2)若弱级数n口n因此lim n ，这说明强级数Vn也发散n口nHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一一吕一例1.讨论p级数 1 口-(常数p>0)hp的敛散性解：1）若pl,因为对一切nzn口口二而调和级数发散，由比较审敛法可知p级数nnpnn发散HIGH EDUCATION PRESS机动目录下页返回上贝结束

例1. 讨论 p 级数 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

故2)若pl,因为当nlxn时XPopLnnn口口n11目kp(k 口1)p(n1)pk口故强级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛HIGH EDUCATION PRESS下页返回机动自录上贝结束

因为当 故 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 2) 若 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

调和级数与p级数是两个常用的比较级数若存在NZ，对一切nN，则un发散;U7n口1)，则收敛nJ口unnHIGHEDUCATION PRESS机动目录下页返回上贝结束

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1发散例2.证明级数n(n l)n1证:因为(n口1,2,口）n(nln l□1)n福发散而级数knnk 2根据比较审敛法可知，所给级数发散HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

证明级数 发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设两正项级数定理3.（比较审敛法的极限形式）unlun，vn满足lim 口l, 则有nVnnn(1)当0<l<o 时，两个级数同时收敛或发散:口也收敛；un(2)当l=0 且vn收敛时,nn口口(3)当 / =o 且vn发散时, un 也发散,nn证：据极限定义，对O,存在NZ，当nN时nC(1)HIGHEDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

定理3. (比较审敛法的极限形式) 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(n N)(1 )yn un (1 )Vn口口un与Vn(1)当0<l<o时，取l,由定理2 可知nn同时收敛或同时发散：(2)当l= O时,利用 un (l )vn(n N),由定理2 知口若vn收敛，则un 也收敛;nnUn(3)当l=时，存在NZ,当nN时□1,即vunn口由定理2可知,若■vn发散，则un也发散nnHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; (3) 当l = ∞时, 即 由定理2可知, 若 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 若 收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束