《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章课件_重积分的应用

第七章重积分的应用一、立体体积二、曲面的面积

一、立体体积 二、曲面的面积 重积分的应用 第七章

1.能用重积分解决的实际问题的特点分布在有界闭域上的整体量所求量是对区域具有可加性2.用重积分解决问题的方法·用微元分析法（元素法）·从定积分定义出发建立积分式3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序定出积分限、计算要简便

1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从定积分定义出发 建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法

一、立体体积·曲顶柱体的顶为连续曲面 z=f(x,y),(x,y)ID则其体积为V=ogf(x,y)dxdy·占有空间有界域口的立体的体积为V= oQdxdydz

一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 • 占有空间有界域 ￾ 的立体的体积为

例1计算由曲面z=1-4x2-与xoy面所围成的立体的体积解一　用二重积分 D：4x2+y21V=o-4x2-")dxdy 由对称性得D1V1-4x22V=400- 4x? - y)dxdy=40dx d(1- 4x - y")dyD001p32881pd(1- 4x) dx =tdocos22431

计算由曲面 解一 用二重积分 与xoy面所围成 由对称性得 例1 的立体的体积

解二用三重积分V= 000=4000WW1V1- 4.x21- 4x2- y22dz==40x 0 dy 04000例2求z=2-x- ,z=x2+所所围成的立体的体积解- V=V,- V=0- x?- y")ds - 00x?+y")dsDD

解二 用三重积分 例2 所围成的立体的体积 解一

=200l- x2- )ds（用极坐标）D2p=2 odq d(1- r°)rdr=p00解二W是柱形区域，用柱面坐标V=o00W2p12-r2odq odr ord11=2p or(2 - 2r°)dr=p0

（用极坐标） 解二 是柱形区域，用柱面坐标

例求两直交圆柱面x?+ y?= R?x?+z?=R2所围成的立体的体积Z=VR2-x2只需求立体在第一卦限的体积，再乘以8。V= 8 J VR2-x° dxdyD=8/2 do["R? -(rcos0)rdr不易积分只好改用直角坐标

z= VR2-x2V = 8[I VR? - x dxdyDR2RR?-xdy8dx0VR2VR?-xdx8dy三0y=NR-XRVR? - x? .VR? - x?dx8D一R16RR3[(R? -x°)dx = -=8JO3

例求立体的体积立体由以下曲面所围成x?+y2=2xZ=0Z=x+V

立体在xOy面上的投影区域D：x2+y~≤2x曲顶：z=x?+y2r=2cos0D所以2V= Jf(x? + y2)dxdyDD2jf(x2 + y2)dxdy-厂Di元2COS62/2 d0r.rdr