《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章课件_第五章第二节课件

第二节平面及其方程平面的点法式方程一R平面的一般方程二、三、两平面的夹角HIGH EDUCATION PRESS机动返回结束自录上页下页

第二节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程

平面的点法式方程一、1-设一平面通过已知点M。（xo,yo,zo）且垂直于非零向量n=(A,B,C),求该平面II的方程n任取点M(x,y,2)eⅡI,则有MI1OKMoMoMIn0L故XMoM.n=0MoM =(x- xo,-yo,z- zo)A(x-Xo)+ B(y- yo)+C(z - zo)=0称①式为平面Ⅱ的点法式方程称n为平面Ⅱ的法向量HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

 z y x o M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求过三点M,(2,-1,4), M2(-1,3,-2),M3(0,2,3)的平面Ⅱ的方程解：取该平面ⅡI的法向量为n= MM2 ×M,MMM3iⅡI-64一-23-1=(14, 9, -1)又M,EII,利用点法式得平面 II 的方程14(x - 2) +9(y +1) -(z - 4) = 0即14x+9y-z-15=0HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

i j k = 例1.求过三点 , 又M1  = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2  M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束

此平面的三点式方程也可写成说明：x-2 y+l z-44=0-63一般情况：过三点Mk(xk,k,zk) (k =1,2,3)的平面方程为x-XiZ-Z1y-yi=0X2 -XiZ2 - Z1Y2 -y1X3 -XiY3 -iZ3 - Z1HIGH EDUCATION PRESS机动上页下页返回结束目录

此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0), Q(0,b,0), R(0,0,c)时,平面方程为=1 (a,b,c±0)此式称为平面的截距式方程分析：利用三点式x-aLb一(x -a)bc- y(-a)c+ zab =0按第一行展开得即bcx + acy +abz = abcHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a,b,c  0) (x − a)bc− y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

平面的一般方程设有三元一次方程Ax+By+Cz+D=0(A? + B2+C2 0)任取一组满足上述方程的数 xo,yo,=o,则Axo + Byo +Czo +D= 0以上两式相减，得平面的点法式方程A(x - xo)+B(y-yo)+C(z -zo)= 0显然方程②与此点法式方程等价因此方程②的图形是法向量为 n=(A,B,C)的平面此方程称为平面的一般方程HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 + B y0 +C z0 + D = 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B +C  ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Ax+ By+Cz+D= 0 (A? + B2 +C2 ±0)特殊情形 当D=0时,Ax+B+Cz=0表示通过原点的平面当A=0时,By+Cz+D=0的法向量n=(O,B,C)i, 平面平行于 x 轴·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面·Cz+D=0表示平行于xoy面的平面·Ax+D=0表示平行于yoz面的平面;·By+D=O表示平行于zox面的平面HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 Ax + By +Cz + D = 0 ( 0) 2 2 2 A + B +C  平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. n = (0,B,C) ⊥ i, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求通过 x轴和点(4,-3, 1)的平面方程解：因平面通过 x轴,故 A=D= 0设所求平面方程为By+Cz = 0代入已知点(4,-3,-1)得 C=-3B化简，得所求平面方程y-3z=0例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程(P327例4，自己练习)HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 By +Cz = 0 代入已知点 (4, −3, −1) 得 化简,得所求平面方程 (P327 例4 , 自己练习) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、 i两平面的夹角两平面法向量的夹角（常为锐角）称为两平面的夹角设平面的法向量为 ni=(A,Bi,C)Lo.n,平面的法向量为 nz =(A2,B2,C2)则两平面夹角0的余弦为12ni·n2cOsO=I0nin2即AjA2 + B,B2 +CiC2cosO=A? + B? +C2 A2? + B,? +C2HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

三、两平面的夹角 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos = 即 A1A2 + B1B2 +C1C2 2 2 2 2 2 A2 + B +C 2 1 2 1 2 A1 + B +C 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 1 2  n2 n1  ( , , ) n1 = A1 B1 C1 ( , , ) n2 = A2 B2 C2 1 2 1 2 cos n n n  n  = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

II : ni =(Aj, Bi, C)n·n2cos=II2 : n2 =(A2, B2, C2)nin特别有下列结论：n21nilnIV() Ⅱ21MA A2 + B, B2 +C C2 = 0ni // n2(2) Ⅱ, // 112nAlBiniB2A2.112IIHIGH EDUCATION PRESSC上页下页返回结束机动自录

2 特别有下列结论： 1 2 (1)  ⊥  A1 A2 + B1 B2 +C1C2 = 0 1 2 (2)  // 2 1 2 1 2 1 C C B B A A = = : ( , , ) : ( , , ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n A B C n A B C  =  = 1 1 2 1 2 1 2 cos n n n  n  = n1 ⊥ n2 1 2 n // n n2 n1 n2 n1 机动 目录 上页 下页 返回 结束