华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 大数定律与中心极限定理 §4.3 大数定律

第1页第四章大数定律与中心极限定理$4.3大数定律讨论概率是频率的稳定值的确切含义；给出几种大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律马尔可夫大数定律、辛钦大数定律4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第1页 §4.3 大数定律 ➢ 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； ➢ 给出几种大数定律： 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律

第2页第四章大数定律与中心极限定理4.3.1伯努利大数定律定理4.3.1（伯努利大数定律）设S,是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中P(A)=p,则对任意的 ε>0，有(-}=1limn→+84April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第2页 4.3.1 伯努利大数定律 定理4.3.1（伯努利大数定律） 设 Sn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每 次试验中 P(A) = p, 则对任意的  > 0，有 lim 𝑛→+∞ 𝑃 𝑆𝑛 𝑛 − 𝑝 < 𝜀 = 1

第3页第四章大数定律与中心极限定理频率稳定于概率的含义P(In-p ≥e}=Olimlim<=1lm-→+8n→+8随着n的增大，事件A发生的频率与其概率p的偏差n-pl大于预先给定的精度的可能性愈来愈小。4 April 2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第3页 随着𝑛的增大，事件𝐴发生的频率𝑆𝑛 𝑛 与其概率𝑝的偏差 | 𝑆𝑛 𝑛 − 𝑝|大于预先给定的精度𝜀的可能性愈来愈小。 lim 𝑛→+∞ 𝑃 𝑆𝑛 𝑛 − 𝑝 < 𝜀 = 1 lim 𝑛→+∞ 𝑃 𝑆𝑛 𝑛 − 𝑝 ≥ ε = 0 频率稳定于概率的含义

第4页第四章大数定律与中心极限定理(n-pl<}= 1limn→+Sn~b(n,p)Sn=En=1Xi其中，X;~b(1,p)4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第4页 lim 𝑛→+∞ 𝑃 𝑆𝑛 𝑛 − 𝑝 < 𝜀 = 1 𝑆𝑛~b(n,p) 𝑆𝑛 =σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 其中， 𝑋𝑖~b(1,p)

第5页第四章大数定律与中心极限定理4.3.2常用的几个大数定律定义4.3.1大数定律一般形式若随机变量序列(X满足：×(X)6=)limPn->+80ni=l则称(X,}月服从大数定律4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第5页 4.3.2 常用的几个大数定律 大数定律一般形式： 若随机变量序列{Xn}满足： 1 1 1 1 lim 1 ( ) n n i i i i n X E X n n P  →+ = =             −  = 则称{Xn} 服从大数定律. 定义4.3.1

第6页第四章大数定律与中心极限定理切比雪夫大数定律定理4.3.2(X)两两不相关，且X,方差存在，有共同的上界，则（X，服从大数定律证明用到切比雪夫不等式4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第6页 切比雪夫大数定律 定理4.3.2 {Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式

第7页第四章大数定律与中心极限定理马尔可夫大数定律定理4.3.3若随机变量序列X满足var(x) →0（马尔可夫条件）则（X服从大数定律4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第7页 马尔可夫大数定律 定理4.3.3 若随机变量序列{Xn}满足： 则 {Xn}服从大数定律. 2 1 1 Var 0 n i i X n =          → (马尔可夫条件)

第8页第四章大数定律与中心极限定理辛钦大数定律定理4.3.4若随机变量序列(X,独立同分布，且X,的数学期望存在。则（X，服从大数定律4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第8页 辛钦大数定律 定理4.3.4 若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的 数学期望存在。则 {Xn}服从大数定律

第9页第四章大数定律与中心极限定理辛钦大数定律的证明思路=-X欲证：PanPy (t) Pa(t)只须证：4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第9页 辛钦大数定律的证明思路 欲证: 1 1 n n i i P X a n Y = = ⎯⎯→  只须证： ( ) ( ) Yn a   t t ⎯⎯→

第四章大数定律与中心极限定理第10页辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E（X）的近似值的方法，设想对随机变量X独立重复地观察n次，第次观察值为X，则X，X.，，X。应该是相互独立的，且它们的分布应该与X的分布相同.所以，在E（X）存在的条件下，按照辛钦大数定律，当n足够大时，可以把平均观察值厂Xn作为E（X）的近似值.这样做法的一个优点是我们可以不必去管X的分布究竞是怎样的，我们的目的只是寻求数学期望的近似值，4April2025华东师范大学

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