华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 3.4 多维随机变量的特征数

第1页第三章多维随机变量及其分布$3.4多维随机变量的特征数本节主要给出X与Y的相关系数4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第1页 本节主要给出 X 与 Y 的相关系数 §3.4 多维随机变量的特征数

第2页第三章多维随机变量及其分布3.4.1多维随机变量函数的数学期望定理 3.4.1设（X,Y)是二维随机变量Z=g(X, Y),则ZZSg(x.y,)puE(Z) = E[g(X, Y] =g(x, y)p(x, y)dxdy4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第2页 3.4.1 多维随机变量函数的数学期望 定理 3.4.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则 E(Z) = E[g(X, Y)] = ( , ) ( , ) ( , )d d i j ij i j g x y p g x y p x y x y + + − −         

第3页第三章多维随机变量及其分布MZg(x,.y,)p课堂练习E(Z) = E[g(X, Y] =t0g(x, y)p(x, y)dxdy例3.4.1在长为α的线段上任取两点X-o00求 E(IX-YI)与Y，求两点间的平均长度00<Ysa<a.CXp(x,y)=0.其他(y-x)dydxdxd(x-y)dydx+ECIX-YI)aa0dxax+c24April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第3页 课堂练习 例3.4.1在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y，求两点间的平均长度. 求 E(|X−Y|) E(Z) = E[g(X, Y)] = ( , ) ( , ) ( , )d d i j ij i j g x y p g x y p x y x y + + − −         

第4页第三章多维随机变量及其分布3.4.2 数学期望与方差的运算性质1: E(X+Y)=E(X)+E(Y) (性质3.4.1)当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)(性质3.4.2)4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第4页 3.4.2 数学期望与方差的运算性质 1. E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y), (性质3.4.1) (性质3.4.2)

第5页第三章多维随机变量及其分布讨论X+Y的方差1. Var(X±Y) = Var(X)+ Var (Y) ±2E) [X-E(XI[Y-E(Y] )2.E: [X-E(XI[Y-E(Y) = E(XY) - E(XE(Y)3.当X与Y独立时，E![X-E(X][Y-E(Y)]=04.当X与Y独立时Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y)注意：以上命题反之不成立4.April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第5页 讨论 X+Y 的方差 1. Var(XY) 3. 当X与Y独立时， 4. 当X与Y独立时， 2.E{ [X−E(X)][Y−E(Y)] } 注意：以上命题反之不成立. = E(XY) − E(X)E(Y) E{ [X−E(X)][Y−E(Y)] } = 0. Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) . = Var(X)+ Var (Y) 2E{ [X−E(X)][Y−E(Y)] }

第6页第三章多维随机变量及其分布协方差3.4.3称定义3.4.1Cov(X, Y) = E} [X-E(XI[Y-E(Y] )为X与Y的协方差4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第6页 3.4.3 协方差 定义3.4.1 称 Cov(X, Y) = E{ [X−E(X)][Y−E(Y)] } 为 X 与 Y 的协方差

第7页第三章多维随机变量及其分布协方差的性质Cov(X, Y)= E(XY) - E(X)E(Y). (性质3.4.4)1）若X与 Y独立，则 Cov(X,Y)=0. (性质3.4.5)(2)(3)Var(X+Y) = Var(X)+ Var (Y) ± 2 Cov(X, Y)1. Var(X?Y)（性质3.4.7)(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X).(性质3.4.8)(5) Cov(X, a) = 0(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y). (性质3.4.9)(7) Cov(X+Y, Z)= Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10)4 April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第7页 协方差的性质 (4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7) (1) Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y). (性质3.4.4) (2) 若 X 与 Y 独立， (6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9) (3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y)  2 Cov(X, Y) (性质3.4.6) (5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8) (7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10) 则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5)

第8页第三章多维随机变量及其分布课堂练习1X与 Y独立，Var(X)=6，Var(Y)=3,则 Var(2X-Y) =( 27 ).4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第8页 课堂练习1 X 与 Y 独立，Var(X) = 6，Var(Y) = 3， 则 Var(2X−Y) = ( ). 27

第9顶页第三章多维随机变量及其分布课堂练习2X ～ P(2),Y ～ N(-2, 4)X与Y独立则 E(X-Y)=( 4 )E(X-Y)?=( 22 )4April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第9页 课堂练习2 X ~ P(2)，Y ~ N(−2, 4)， X与Y独立， 则 E( X−Y) = ( ); E( X−Y) 2 = ( ). 4 22

第10页第三章多维随机变量及其分布相关系数3.4.4称定义3.4.2Cov(X,Y)Corr(X, Y) =/Var(X)/Var(Y)为X与Y的相关系数4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第10页 3.4.4 相关系数 定义3.4.2 称 Corr(X, Y) = 为 X 与 Y 的相关系数. Cov( , ) Var( ) Var( ) X Y X Y