《数学分析》课程教学课件（讲稿）不定积分概念与性质

§1不定积分概念与 基本积分公式 不定积分是求导运算的逆运算 一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几儿何意义 四、基本积分表 前页 后页 返回

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一、原函数 微分运算的逆运算是由已知函数f(x),求函数Fx), 使 F'(x)=fx). 例如 已知速度函数v(t),求路程函数(t).即求 s(t),使s(t)=v(t). 又如，已知曲线在每一点处的切线斜率k(x),求 f(x),使y=f(x)的图象正是该曲线，即使得 f'(x)=k(x) 前页

前页 后页 返回 微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 一、原函数 使 s t s t v t ( ), ( ) ( ). 使  = 例如 已知速度函数 求路程函数 即求 v t s t ( ), ( ). 又如, ( ), 已知曲线在每一点处的切线斜率 k x 求 f x y f x ( ), ( ) , 使 = 的图象正是该曲线 即使得 f x k x ( ) ( ). = F x f x ( ) ( ). =

定义1设函数f与F在区间I上都有定义，若 F(x)=fx),∈I, 则称f为F在区间I上的一个原函数： 例1()路程函数s(t)是速度函数v(t)的一个原函 数 s(t)=v(t). 田芳是x的一个原函数： 前页 返回

前页 后页 返回 定义1 设函数 与 在区间 上都有定义,若 f F I 则称 为 在区间 上的一个原函数 f F I . F x f x ( ) ( ) = ， x I  , 3 2 (ii) 3 x 是 x 的一个原函数: x x 3 2 . 3      =   例1 (i) ( ) ( ) 路程函数 是速度函数 的一个原函 s t v t s(t) = v(t). 数:

(in(x+√+x子)是，1三的-个原函数： 1+x2 uxij w)V-+aresin.)w是1-文的-个原函数： [i-+arn时i子 从((v)可以看出，尽管象 +左和1-e 前页

前页 后页 返回 x x x 2 2 1 (iii)ln( 1 ) 1 + + + 是 的一个原函数: ( ) 2 2 1 ln( 1 ) . 1 x x x  + + = + 从(iii) (iv)可以看出, 尽管象 ( ) 1 2 2 (iv) 1 arcsin 1 : 2 x x x x − + − 是 的一个原函数 ( ) 1 2 2 1 arcsin 1 . 2 x x x x    − + = −     2 2 1 1 1 x x − + 和

这种形式简单的函数，要求出它们的原函数也不是 一件容易的事. 研究原函数有两个重要的问题： 1.满足何种条件的函数必定存在原函数？如果存 在原函数，它是否惟一？ 2.若已知某个函数的原函数存在，如何把它求出 来？ 前页 返回

前页 后页 返回 研究原函数有两个重要的问题: 1. 满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存 2. 若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出 这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是 一件容易的事. 在原函数,它是否惟一? 来?

第一个问题由以下定理回答， 定理8.1（原函数存在性定理） 若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函 数F,即 F'(x)=fx). 在第九章中将证明此定理， 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 第一个问题由以下定理回答. 定理8.1 (原函数存在性定理) 若函数 在区间 上连续 则 在 上存在原函 f I f I , F x f x ( ) ( ). = 在第九章中将证明此定理. 数 F, 即

定理8.2（原函数族的结构性定理） 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则 ()F(x)+C也是f(x)在I上的原函数，其中C 为任意常数 (fx)在I上的任意两个原函数之间，只可能相差 一个常数 前页 返回

前页 后页 返回 定理8.2 (原函数族的结构性定理) 设 是 在区间 上的一个原函数 则 F x f x I ( ) ( ) , (i) ( ) ( ) , F x C f x I C + 也是 在 上的原函数 其中 (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 为任意常数. 一个常数

证()由(F(x)+C)'=F'(x)=f(x),知F(x)+C 也是f(x)在I上的原函数 (山)设Fx)和Gx)是fx)在I上的任意两个原 函数，则 (Fx)-G(x)'=F'(x)-G'(x) =f(x)-f(x)=0. 由第六章拉格朗日中值定理的推论，即知 Fx)-G(x)≡C. 前顶

前页 后页 返回 证 (i) ( ( ) ) ( ) ( ), ( ) 由 知 F x C F x f x F x C + = = +   也是 在 上的原函数 f x I ( ) . (ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 (F(x) − G(x)) = F(x) − G(x) 由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知 F x G x C ( ) ( ) . −  =−= f x f x ( ) ( ) 0. 函数, 则

二、不定积分 定义2函数f在区间I上的全体原函数称为f 在【上的不定积分，记作 f(x)dx, 其中称x为积分变量，f(x)为被积函数， f(x)dx为积分表达式，为积分号. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则由定理8.2， ∫f)dx-{Fx)+C|C∈R 前页 返回

前页 后页 返回  f x x ( )d , 二、不定积分 定义2 函数 在区间 上的全体原函数称为 f I f 在 I 上的不定积分, 记作 其中称 x f x 为积分变量, ( ) , 为被积函数 f x x ( )d . 为积分表达式  , 为积分号 若 是 的一个原函数 则由定理 F x f x ( ) ( ) , 8.2,  f x x F x C C ( ) d ( ) R . = +   

为方便起见，我们记」f(x)dx=F(x)+C.其中 C为任意常数， 由此，从例1（的）((v)可得： j小rar3rc sc. aresin)+C. 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 为方便起见, 我们记 f x x F x C ( )d ( ) . = +  其中 由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得: = +  x x x C 2 3 1 d , 3 2 2 d ln( 1 ) , 1 x x x C x = + + + +  ( ) 2 2 1 1 d 1 arcsin . 2 − = − + + x x x x x C  C 为任意常数