《数学分析》课程教学课件（讲稿）上极限下极限

*§2上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念，通过 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下 册第十二、十四章讨论级数收敛性时，常会遇到所 考虑的某些数列不存在极限的情形，那时需要用上 极限或下极限来解决问题.此外，对于不少后继课 程来说，上（下）极限也是不可缺少的工具， 一、上（下）极限的基本概念 二、上（下）极限的基本性质 前页 巡回

前页 后页 返回 *§2 上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 一、上(下)极限的基本概念 程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具. 极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课 考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上 册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下 二、上(下)极限的基本性质 返回

一、上（下）极限的基本概念 定义1若数列{xm}满足：在数xo的任何一个邻域 内均含有{xn}中的无限多项，则称x,是数列{xn} 的一个聚点 注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于： 前者要求“含有无限多个点”，后者要求“含有无 限多个项”.现举例如下： 常数列(a,·)只有一个聚点：a 前

前页 后页 返回 一、上(下)极限的基本概念 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 定义1 若数列 满足: 在数 的任何一个邻域 内均含有 中的无限多项, 则称 x0 是数列 常数列 只有一个聚点: a . 的一个聚点. 限多个项” . 现举例如下: 前者要求 “含有无限多个点” , 后者要求 “含有无

{(1)”}作为点集来说它仅有两个点，故没有聚点； 但作为数列来说，它却有两个聚点：1和-1. 数列{sin7}有五个聚点：-1，V2/2,0,V2/2,1. 从数列聚点的定义不难看出，x是数列{x}的聚 点的一个充要条件是：存在{xm}的一个子列{xm, xu®o,k®￥. 定理7.4有界数列至少存在一个聚点，并且有最大 聚点和最小聚点

前页 后页 返回 定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 但作为数列来说, 它却有两个聚点: 数列 有五个聚点: 从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 的聚 作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点; 点的一个充要条件是: 存在 的一个子列 聚点和最小聚点

证设{x}为有界数列，由致密性定理，存在一个 收敛子列{x,},x®x(k®￥)，于是x是{xn 的一个聚点 又设E={x|x是{xm}的聚点}，由于E非空有界， 故由确界原理，存在 A=sup E,A=inf E. 下面证明A是{xn}的最大聚点，亦即AE. 首先，由上确界的性质，存在a,1E,使an®A. 前页

前页 后页 返回 又设 由于 E 非空有界, 故由确界原理, 存在 下面证明 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 证 设 为有界数列, 由致密性定理, 存在一个 的一个聚点. 收敛子列 于是 首先, 由上确界的性质, 存在 使

因为a,是{xn}的聚点，所以对任意正数e,在区间 (a;~e,a;+e)内含有{xn}的无限多项.现依次令 e1=1,存在xm,使xm~411; 62存在%>使4小 ●●●●●●●●●●● 存在，a>山使。a小人

前页 后页 返回 存在 使 存在 使 的无限多项. 现依次令 存在 使 因为 是 的聚点, 所以对任意正数 在区间

这样就得到了{xm}的一个子列{x},满足： =mas)+ma4=4。 k®￥ k®￥ 即证得A也是{xn}的一个聚点，所以 Ai E. 同理可证AIE. 定义 有界数列{xn}的最大聚点A与最小聚点 分别称为{x,}的上、下极限，记为 A=lim A=lim xn n®￥ n®￥ 前

前页 后页 返回 这样就得到了 { xn } 的一个子列 满足: 同理可证 定义 2 有界数列 的最大聚点 与最小聚点 分别称为 的上、下极限, 记为 即证得

注由定理7.4得知，有界数列必有上、下极限： 这样，上、下极限的优越性就显现出来了：一个 数列若有界，它的极限可以不存在，此时想通过 极限来研究该数列往往是徒劳的；但是有界数列 的上、下极限总是存在的，这为研究数列的性质 提供了一个新的平台

前页 后页 返回 注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台. 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个

例1考察以下两个数列的上、下极限： m1-im1-0(=1iml片 n®￥nn®￥n n®￥n 1im1)”,=1,im(1)”-1. n®￥ n+1 n®￥ n+1 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系.详细讨论请见下文. 前丙

前页 后页 返回 例1 考察以下两个数列的上、下极限: 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文

二、上（下）极限的基本性质 由上、下极限的定义，立即得出： 定理7.5对任何有界数列{n},有 lim￡limx (1) n®￥ n®￥ 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关 系 定理7.6 有界数列{x}存在极限的充要条件是： limx=limxn (2) n®￥n®￥

前页 后页 返回 二、上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 定理7.5 对任何有界数列 有 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关 系. 定理7.6 有界数列 存在极限的充要条件是: (1) (2)

证设lim=A.对于任意正数e,在U(;e) n®￥ 之外{xn}只有有限项.这样，对任意的B1A,若 取，-R>A那么在U(6肉（此时必 在U(;e)之外){xn}只有有限项.这就是说，B 不是{xn}的聚点，故{xn}仅有一个聚点A,从而 lim x=limx. n®￥ n®￥ 反之，若上式成立，则{xn}的聚点惟一（设为A)

前页 后页 返回 证 设 对于任意正数 在 之外 只有有限项. 这样, 对任意的 若 只有有限项. 这就是说, B 不是 的聚点, 故 仅有一个聚点 A, 从而 取 那么在 内( 此时必 反之, 若上式成立, 则 的聚点惟一 (设为 A)