《数学分析》课程教学课件（讲稿）幂级数

§1幂级数 一般项为幂函数4n(x-X)”的函数项级数称 为幂级数，这是一类最简单的函数项级数，幂级 数在级数理论中有着特殊的地位，在函数逼近 和近似计算中有重要应用，特别是函数的幂级 数展开为研究非初等函数提供了有力的工具 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 三、幂级数的运算

前页 后页 返回 §1 幂 级 数 一般项为幂函数 的函数项级数称 为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级 数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近 和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级 数展开为研究非初等函数提供了有力的工具. 三、幂级数的运算 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质

一、幂级数的收敛区间 函数项级数 a u(x)=n(x)+uCx)+L +u(x)+L n=1 幂级数 幂级数系数 ia.y=a,+a-+L+a,(-r+1 n=0 注：当x。=0时，8anx”=a+a,x+L+a,x”+L n=0 前页

前页 后页 返回 幂级数系数 一、幂级数的收敛区间

2.幂级数的收敛点与收敛域 a 如果x11,数项级数 收敛， 则称x为级数 的收敛点，否则称为发散点， 函数项级数：W,(x)的所有收敛点的全体称为收敛域， n= 所有发散点的全体称为发散域：

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例如级数8x”=1+x+x2+L, n=0 当x<1时，收敛；当x31时，发散； 收敛域(-1,1)；发散域(-￥，1它[1，+￥)； 因此级数敛散性的问题对于函数项级数或 幂级数而言，正确的提法是区间上的那些 点使级数收敛，那些点使级数发散？

前页 后页 返回 因此级数敛散性的问题对于函数项级数或 幂级数而言，正确的提法是区间上的那些 点使级数收敛，那些点使级数发散？

定理14.1(AbeI定理) 如果级数☐anx”x口x(x,口0) n☐0 x日X, ￥ 证明(1)Q员anx,"收敛，11 imax,”=0, n®￥ n=0 前页 返回

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SM,使得anx,”￡M(n=0,1,2,L) n ￡M Xo Xo Q当<时，等比级数M 收敛， Xo n=0 o 1aanx收敛，即级数月anx"收敛； n=0 n=0 前页

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(2)假设当x=x时发散， 而有一点x适合 使级数收敛， 由(1)结论则级数当x=x时应收敛 这与所设矛盾. 几何说明 收敛区域 发散区域·R 0 R 发散区域

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由定理14.1知道 不是仪 如果幂级数口anx” x☐0 点收效 n☐0 也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全 确定的正数R 存在，字其有下列性两 当R时，幂级数发散； 当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散 前页

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定义：正数R称为幂级数的收敛半径， 开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间： 收敛域是(R,P),[-R,R),(R,R,I-R,R]之一. 规定(1)幂级数只在x=0处收敛： R=0, (2)幂级数对一切x R=+￥，收敛域（￥，+￥）. 问题 如何求幂级数的收敛半径？ 前页

前页 后页 返回 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 收敛域是 开区间 称为幂级数的收敛区间

定理14.2对于幂级数(2)，若 -r, (3) 则当 ①0<r<+半时，幂级数(2的收敛半径R=1； ()r=0时，幂级数(2的收敛半径R=￥； ()r=+半时，幂级数(2)的收敛半径R=0. a对于幂级数a|unx",由于 n=0 limyla,"-limax 前页

前页 后页 返回 定理14.2 对于幂级数(2), 若 则当 证