《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章课件_4.1微分方程的概念

第四章 微分方程 己知y=f(x),求y一积分问题 推广 已知含y及其若干阶导数的方程，求y 一微分方程问题

第四章 微分方程 已知 y f x y  = ( ), 求 — 积分问题 已知含 y y 及其若干阶导数的方程, 求 — 微分方程问题 推广

第一节微分方程的概念 第二节一阶微分方程 第三节二阶微分方程

第一节 微分方程的概念 第二节 一阶微分方程 第三节 二阶微分方程

第一节微分方程的概念 ·一、问题引入 ·二、微分方程的定义 ·三、微分方程的解

第一节 微分方程的概念 • 一、问题引入 • 二、微分方程的定义 • 三、微分方程的解

一、问题引入 引例一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M化，y) 处的切线的斜率为2x,求此曲线的方程。 解 设所求曲线为y=y(x) =2x其中x=1时，y=2 dx y=∫2xk即y=x2+C, 求得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1

解 设所求曲线为 y = y(x) 2 dy x dx =  y = 2xdx 其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x + 引例 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x,y) 处的切线的斜率为2x，求此曲线的方程. 一、问题引入

二、微分方程的定义 含有自变量、未知函数及未知函数的导数（或 微分)的方程称为微分方程 自变量、未知函数可以在方程中不出现，但 未知函数的导数必须出现. 例y'=y,y"+2y'-3y=e, Oz (+x)dt+xdx=0, =x+y, Ex 分类1：常微分方程，偏微分方程

例 y = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y  + y − y = e x y, x z = +  含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或 微分) 的方程称为微分方程. 二、微分方程的定义 自变量、未知函数可以在方程中不出现，但 未知函数的导数必须出现. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程

微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的 导数的最高阶数称之为微分方程的阶. 1.xy"+y")2=x5的阶数为（) 2.3y2dy+3x2dx=0的阶数为（) 3.xy”+(y)3-y4y'=0的阶数为（) 4.下列方程中不是微分方程的是（) A.(y')2+3y=0 B.dy+dx=2dx C.y"=ex-y D.x2+y2=4

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的 导数的最高阶数称之为微分方程的阶. 1. x 𝑦 ′′′ + (𝑦 ′′) 2= 𝑥 5的阶数为（ ） 2. 3𝑦 2 dy+ 3𝑥 2 dx = 0的阶数为（ ） 4. 下列方程中不是微分方程的是（ ） A.(𝑦 ′ ) 2+3y=0 C.𝑦 ′′ = 𝑒 𝑥−𝑦 D.𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 B. dy+ 1 𝑥 dx =2dx 3. x 𝑦 ′′ + (𝑦 ′ ) 3−𝑦 4 𝑦 ′ = 0的阶数为（ ）

分类2：根据微分方程的阶 一阶微分方程F(x,y,y)=0,y=f(x,y) 高(n)阶微分方程F(x,y,y',.,y)=0, y=f(x,y,y,.v(D)

一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高(n)阶微分方程 ( , , , , ) 0, ( )  = n F x y y  y ( , , , , ). ( ) ( −1) =  n n y f x y y  y 分类2: 根据微分方程的阶

三、主要问题-求方程的解 微分方程的解： 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 设y=p(x)在区间I上有n阶导数， F(x,p(x),p'(x),.,pm(x)=0. 微分方程的通解： 微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的 个数与微分方程的阶数相同

微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 设y x I n = ( ) , 在区间 上有 阶导数 ( ) ( , ( ), ( ), , ( )) 0. n F x x x x      微分方程的通解： 三、主要问题-求方程的解 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的 个数与微分方程的阶数相同

例y=y, 通解y=Ce'; y”+y=0, 通解y=C1sinx+C2cosx; 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的解。 初始条件：用来确定任意常数的条件. 微分方程的积分曲线：解的图形， 积分曲线族：通解的图形

微分方程的特解：确定了通解中任意常数的解. 例 y = y, ; x 通解 y = Ce y  + y = 0, sin cos ; 通解 y = C1 x +C2 x 微分方程的积分曲线：解的图形. 积分曲线族：通解的图形. 初始条件: 用来确定任意常数的条件

初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题， 一阶：=fx) Yx=%Y0 过定点的积分曲线； 二阶：p=fx, Vx=xo Yo,Yx=%=yo 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线

过定点的积分曲线;    =  = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶:    =  =   =  = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题