《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章课件_4.3二阶微分方程

4.2二阶微分方程 一、可降阶的微分方程 二、高阶线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性微分方程

4.2 二阶微分方程 一、可降阶的微分方程 二、高阶线性微分方程解的结构 三、 二阶常系数齐次线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性微分方程

一、可降阶的高阶微分方程 1、ym=f(x)型的微分方程 2、y”=f(x,y)型的微分方程 3、y”=f(y,Jy)型的微分方程

一、可降阶的高阶微分方程 1、 型的微分方程 2、 型的微分方程 3、 型的微分方程 ( ) ( ) y f x n = y f x y   = ( , ) y f y y   = ( , )

1、ym)=f(x)型的微分方程 令z=y-D则是=y四=f.因此 d z z=f(x)dx+G 即ym-D=∫f)dx+ 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解

令 𝑧 = 𝑦 (𝑛−1) ,则 d 𝑧 d 𝑥 = 𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥), 因此 𝑧 = න𝑓 (𝑥) d 𝑥 + 𝐶1 即 𝑦 (𝑛−1) = න𝑓 (𝑥) d 𝑥 + 𝐶1 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1、𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥)型的微分方程

例1解方程y"=e2x-cosx

2 1 cos . x 例 解方程 y e x  = −

2、y”=f(x,y)型的微分方程 解法：令y'=p(x),则y”=p', 故有p'=f(x,p) 此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出 一阶微分方程的通解后再两边积分即可

解法：令𝑦 ′ = 𝑝(𝑥), 则y p   = , 故有p f x p  = ( , ) 此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出 一阶微分方程的通解后再两边积分即可 2、𝑦 ″ = 𝑓(𝑥, 𝑦 ′ )型的微分方程

例2求微分方程(1+x)y”=2xy满足初始条件 y川x=0=1,y1x=0=3 的特解 解：

例𝟐 求微分方程 (𝟏 + 𝒙 𝟐 )𝒚 ″ = 𝟐𝒙𝒚 ′满足初始条件 𝒚|𝒙=𝟎 = 𝟏, 𝒚 ′ |𝒙=𝟎 = 𝟑 的特解. 解：

3、y”=fy,y)的微分方程 解法：令y'=p(y),并利用复合函数的求导法则 把y"化为对y的导数，即 dpdp dy dp dx dy dx 三p'dy 这时方程变为一阶微分方程： p号=f0 dp

解法：令𝑦 ′ = 𝑝(𝑦), 并利用复合函数的求导法则 把𝑦 ″化为对𝑦的导数，即 𝑦 ″ = 𝑑𝑝 𝑑𝑥 = 𝑑𝑝 𝑑𝑦 ⋅ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑝 ⋅ 𝑑𝑝 𝑑𝑦 这时方程变为一阶微分方程： 𝑝 ⋅ 𝑑𝑝 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑦,𝑝) 3、𝑦 ″ = 𝑓(𝑦, 𝑦 ′ )的微分方程

例3求方程y”-y2=0的通解. 解设y'=p0,则广=P西 代入原方程得yP 9-p2=0,即py 迎-p）=0, 迎-p=0,可得p=Cy 由y dy=Cy, d心 原方程通解为y=C2eCx

0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , dp y p dy 设 𝑦 则  = ′ = 𝑝(𝑦), 代入原方程得 2 0, dp y p p dy  − = ( ) 0, dp p y p dy 即  − = 0 dp y p dy 由  − = ， 1 可得 p C y = , 1 2 . C x 1 原方程通解为 y C e = , dy C y dx  = 例 3

二、高阶线性微分方程 1、概念的引入 2、线性微分方程的解的结构

二、高阶线性微分方程 1、概念的引入 2、线性微分方程的解的结构

1、概念的引入 一般的 +P+eep= 二阶线性微分方程 当f(x)=0时，二阶线性齐次微分方程 当f(x)丰0时， 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 y(m+a(x)y(D+.+a(x)y'+a,(x)y=f(x)

二阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dx dy P x dx d y + + = 当 f x( ) 0  时， 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 一般的 当 f x( ) 0  时， ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n y a x y a x y a x y f x − − + + + + =  1、概念的引入