《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章课件_6.4多元函数微分学的几何应用

az0z∂2z 1.设e2-z=0,求 'y'6x2· 则） 解： 南 你4，)eX e-x 签径-） or

定理2.若函数F(x,y,z)满足 ①在点P(x0,yo,z)的某邻域内具有连续偏导数， ②F(x0,y0,20)☐0 ③F2(x0,y0,20)☐0 则方程F(x,y,z)口0在点(xo,yo)某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数z=f(x,y),满足0口f(xo,y0) 并有连续偏导数

定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确

定理3.设函数F(x,y,山，y),G(x,y,u,)满足： ①在点P(xo,yo,o,o)的某一邻域内具有连续偏 导数； ②F(x0,y0,u0,Vo)☐0，G(x0,y0,40,o)☐0 (F,G) [u,v) 则方程组F(,y,u,)口0，G(x,y,u,)□0在点(x0,y0) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件40口u(xo,yo), Vo口v(xo,o)的单值连续函数u口u(x,y),V☐v(x,y)

定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 ③ 的单值连续函数 ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数；

z=x2+y2 dy dz 2.设 +2y2+32=20求 除) 8>2以) ∫象数 J 2近6) 7) 28r4刘殷+6红蒙-0 ￥0 5紫-紫≥以 喷 名2 例费+红尝-2以

第四节 第六章 多无岛数微分学的立用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、多元函数的极值

第四节 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的应用 第六章 三、多元函数的极值

复习：平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线y口f(x)在点(xo,yo)有 切线方程y口yo口fo)(x口xo》 法线方程y口0口口。 (x□xo) f(xo) 若平面光滑曲线方程为F(x,y)口0，因 dy x F(x,y) 故在点(x0,yo)有 切线方程F(xo,yo)(x☐x)口F,(xo,yoXy口yo)□0 法线方程F(xo,yo(x口xo☐F,(xo,yo)(y·o)口0

复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因

一、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面

一、空间曲线的切线与法平面 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面

1.曲线方程为参数方程的情况 □：x□口(t),y☐口(t),z☐▣(t) M 设t☐t0对应M(xo,y0,20) t口t,口1对应Mx0口■x,yo□□y,z0□□z) 割线MM的方程： x0x0cy0020z0 上述方程之分母同除以☐1，令口1口0，得 切线方程 ▣(to)

1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程

此处要求口，)，口(t,),口t,)不全为0， 如个别为0，则理解为分子为0 切线的方向向量 T画（▣Co),口(o),口(to) 称为曲线的切向量· T也是法平面的法向量，因此得法平面方程 口to)(x口x,)□口t)(y□yo)口口(to)(z口2o)口0 说明：若引进向量函数7(t)□(C(t),口(t,口(t),则口 为r()的矢端曲线，而在t0处的导向量 r0o)☐（口Qo),口(4o),口to) 就是该点的切向量

此处要求 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 不全为0, 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 , 则 ￾ 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量

厂：Xag也)当wt) w） 七七6 -的o 切战张、 XXo -Mo 330 y 仪体)化) z估) 2220 平和粮.红)(《-)+o)(y6》 十z:)(3-高)≥0